4.1 平摆线 4.2 渐开线教学建议对于本节内容,课标中定位为了解,高考中也很少涉及,因此在教学中要控制好教学深度,只要能够让学生通过实例,了解平摆线、渐开线的定义及形成过程,以及二者参数方程的形式,注意参数方程中字母和参数的含义即可,无需人为地设置一些综合性较强的题目.备选习题 我们都使用过蚊香,蚊香是由一圈螺旋线组成的.为了兼顾美观和燃烧的效果,通常在设计时,有以下几种方案:方案一:等速螺线,如图①.图中画出的关于点 O 对称的两支蚊香是沿这两支曲线剪开的平面部分(以下同).方案二:圆的渐开线,如图②.图中曲线是圆弧,曲线是圆的渐开线 (以下同).受方案二的启示,可得方案三:正方形的渐开线,如图③.请根据图①②③,写出图③对应曲线的方程.分析:本题是数学美在实际问题中的体现.要写出相应曲线的方程,可以根据曲线满足的条件,可以使用参数方程,普通方程或者极坐标方程写出,关键在于对知识的灵活掌握和应用.首先要明白渐开线的含义,可以根据课本中圆的渐开线的定义和求解的方法进行类比.建立适当的坐标系,根据条件写出坐标满足的关系式.解:在方案三中,曲线是由圆弧与圆弧内连接的,建立如题图中图③所示的直角坐标系,设OA=OC=1,则曲线 的各段弧的方程如下(式中 n∈N):(0≤x<1,≤y<0);x2+(y-1)2=2(4n-3)2〔4n-3≤x<(4n-3),-4n+4≤y<4n-2〕;(x+1)2+y2=2(4n-2)2〔-4n+1≤x<4n-3,4n-2≤y<(4n-2)〕;x2+(y+1)2=2(4n-1)2〔-(4n-1)≤x<-4n+1,-4n≤y<4n-2〕;(x-1)2+y2=2(4n)2(-4n+1≤x<4n+1,-4n≤y<-4n).
