2.4 一些常见曲线的参数方程[读教材·填要点]1．摆线的概念一圆周沿一直线无滑动滚动时，圆周上的一定点的轨迹称为摆线，摆线又叫旋轮线．2．渐开线的概念把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)摆线的参数方程：.(2)圆的渐开线方程：.[小问题·大思维]1．摆线的参数方程中，字母 a 和参数 t 的几何意义是什么？提示：字母 a 是指定圆的半径，参数 t 是指圆滚动时转过的角度．2．渐开线方程中，字母 a 和参数 t 的几何意义是什么？提示：字母 a 是指基圆的半径，参数 t 是指 OA―→和 x 轴正向所成的角(A 是绳拉直时和圆的切点)．求圆的摆线的参数方程[例 1] 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程．[思路点拨] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．[精解详析] 令 y＝0，可得 a(1－cos t)＝0，由于 a>0，即得 cos t＝1，所以 t＝2kπ(k∈Z)．代入 x＝a(t－sin t)，得 x＝a(2kπ－sin 2kπ)．又因为 x＝2，所以 a(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 a＝(k∈Z)．又 a>0，所以 a＝(k∈N＋)．易知，当 k＝1 时，a 取最大值为.代入即可得圆的摆线的参数方程为(t 为参数)．1由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．要确定圆的半径，通常的做法有：①根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；②利用待定系数法，将摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径．1．圆的半径为 r，沿 x 轴正向滚动，圆与 x 轴相切于原点 O.圆上点 M 起始处沿顺时针已偏转 φ 角．试求点 M 的轨迹方程．解：xM＝r·θ－r·cos(φ＋θ)－＝r[θ－sin(φ＋θ)]，yM＝r＋r·sin＝r[1－cos(φ＋θ)]．∴点 M 的参数方程为(θ 为参数).求圆的渐开线的参数方程[例 2] 求半径为 4 的圆的渐开线的参数方程．[思路点拨] 本题考查圆的渐开线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．[精解详析] 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量0OM�的方向为 x 轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点 M...
