第 1 课时 参数方程的概念[核心必知]1．参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数①，并且对于 t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程．联系变量 x，y 的变数 t 叫做参变数，简称参数．2．普通方程相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．[问题思考]1．参数方程中的参数 t 是否一定有实际意义？提示：参数是联系变数 x ， y 的桥梁 ， 可以是一个有物理意义或几何意义的变数 ， 也可 以是没有明显实际意义的变数．2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如和(m∈R) 都表示直线x＝2y＋1. 已知曲线 C 的参数方程是(t 为参数)．(1)判断点 M1(0，－1)和 M2(4，10)与曲线 C 的位置关系；(2)已知点 M(2，a)在曲线 C 上，求 a 的值．[精讲详析] 本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关系．解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在．(1)把点 M1的坐标代入参数方程得∴t＝0.即点 M1在曲线 C 上．把点 M2的坐标代入参数方程得方程组无解．即点 M2不在曲线 C 上．(2) 点 M(2，a)在曲线 C 上，∴∴t＝1，a＝3×12－1＝2.即 a 的值为 2.已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上．1．已知曲线(θ 为参数，0≤θ<π)，则下列各点 A(1，3)，B(2，2)，C(－3，5)在曲线上的点是________．解析：将 A(1，3)点代入方程得 θ＝0；将 B、C 点坐标代入方程，方程无解，故 B、C点不在曲线上．答案：A(1，3) 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为 a，顶点 B、A 分别在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的参数方程．[精讲详析] 本题考查曲线参数方程的求法，解答本题需要先确定参数，然后分别用同一个参数表示 x 和 y.法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.取 OB＝t，t 为参数(0＜t＜a)． |OA|＝，∴|BQ|＝.∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为(0＜t＜a)法二：设点 P 的坐标为(x，y)，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q，如图所示．取∠QBP＝θ，θ 为参数(...
