第 2 课时 圆的参数方程[核心必知]如图，设圆 O 的半径是 r，点 M 从初始位置 M0(t＝0 时的位置)出发，按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动，点 M 绕点 O 转动的角速度为 ω，以圆心 O 为原点，OM0所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系．(1)在 t 时刻，M 转过的角度是 θ，点 M 的坐标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有 cos ωt＝，sin ωt＝，即圆心在原点 O，半径为 r的圆的参数方程为(t 为参数)．其中参数 t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程为(θ 为参数)．其中参数 θ 的几何意义是：OM0(M0为 t＝0 时的位置)绕点 O 逆时针旋转到 OM的位置时，OM0转过的角度．[问题思考]1．方程(θ 为参数，0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心，以 R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以 R 为半径的圆的标准方程为 x2＋y2＝R2，即()2＋()2＝1，令则2．若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程是什么？提示：圆的参数方程为 (0≤ θ <2 π ) 点 M 在圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)上，O 为原点，x 轴的正半轴绕原点旋转到OM 形成的角为 φ，以 φ 为参数．求圆的参数方程．[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法，解答此题需要借助图形分析圆上点M(x，y)的坐标与 φ 之间的关系，然后写出参数方程．如图所示，设圆心为 O′，连接 O′M① 当 M 在 x 轴上方时，∠MO′x＝2φ.∴② 当 M 在 x 轴下方时，∠MO′x＝－2φ，∴即③ 当 M 在 x 轴上时，对应 φ＝0 或 φ＝±.综上得圆的参数方程为(φ 为参数且－≤φ≤)(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程表示的曲线却可以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成 φ 的意义就改变了．1．设 y＝tx(t 为参数)，则圆 x2＋y2－4y＝0 的参数方程是________．解析：把 y＝tx 代入 x2＋y2－4y＝0得 x＝，y＝，∴参数方程为答案： (t 为参数) 已知点 P(2，0)，点 Q 是圆(θ 为参数)上...
