高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量的减法学案（含解析）北师大版必修4-北师大版高二必修4数学学案

2．2 向量的减法知识点一 相反向量 [填一填]1．与 a 长度相等、方向相反的向量，叫作 a 的相反向量，记作－a.零向量的相反向量仍是零向量．关于相反向量有：－(－a)＝a；a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；若 a，b 互为相反向量，则 a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.[答一答]1．两个相反向量的和等于什么？提示：由向量加法的定义可知：两个相反向量的和为零向量．知识点二 向量减法 [填一填]2．定义：向量 a 加上 b 的相反向量，叫作 a 与 b 的差，即 a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算，叫作向量的减法．几何意义：如图，在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b，即 a－b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量．[答一答]2．为什么对于任意两个向量 a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|?提示：其几何意义是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据向量a，b 共线与不共线两种情况讨论．若 a，b 中有一个为零向量，则不等式显然成立．若 a，b 都不是零向量，记OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b.(1)当 a，b 不共线时，如图所示，则有||OA|－|AB||<|OB|<|OA|＋|AB|，即||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当 a，b 共线时，若 a，b 同向，如图①所示，|OB|＝|OA|＋|AB|，即|a＋b|＝|a|＋|b|.若 a，b 反向，如图②所示，||OA|－|AB||＝|OB|，即||a|－|b||＝|a＋b|.综上，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.同理可证明||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.综上，||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.1．相反向量满足的两个条件(1)两个向量的方向相反．(2)两个向量的长度相等．2．相反向量的意义(1)在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法．(2)为向量的“移项”提供依据．利用(－a)＋a＝0 在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”．3．对向量减法的两点说明(1)减法的几何意义a－b 的几何意义是：当向量 a，b 的始点相同时，从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量．(2)与向量加法的关系a－b＝a＋(－b)，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．类型一 向量减法的几何意义 【例 1】 如图，已知向量 a，b，c，求作 a－b－c.【思路探究】 →→→【解】 如图，在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，BC＝c，则由向量减法的三角形法则，得BA＝a－b，CA＝a－b－c.规律方法 应用三角形法则进行向量减法时，必须平移向量使之共起点，那么终点与终点所确定的向量就是两个向量...