2.3 从速度的倍数到数乘向量课堂导学三点剖析1.向量数乘的定义及其运算律【例 1】 在平行四边形 ABCD 中，=a,=b,求、.思路分析：由平面几何的知识可知，对角线相等且互相平分，用已知向量可以表示所求向量；也可用所求向量表示已知向量.联立方程组，求得所求向量.解：如右图，利用平行四边形的性质,得==a,==b. =+=-,∴=a-b.又 =+,=,∴=a+b.友情提示 把向量的加减同数乘结合起来，用来解决分向量的加减问题.各个击破类题演练 1若 O 为平行四边形 ABCD 的中心，=4e1,=6e2,则 3e2-2e1=_______.解析:3e2=,2e1=,∴3e2-2e1=-=(-)=(+)=.答案：变式提升 1化简［(4a-3b)+b-(6a-7b)］=___________________.解析：原式=（4a-3b+b-a+b）=［(4-)a+(-3++)b］=(a-b)=a-b.答案：a-b2.对向量数乘运算律的应用【例 2】 设 x 是未知向量，解方程 2（x-a）-(b-3x+c)+b=0.思路分析：向量方程与实数方程类似，我们可用和实数方程类似的方法来求解.解：原方程化为 2x-a-b+x-c+b=0，x-a+b-c=0，x=a-b+c，∴x=a-b+c.友情提示 向量的加、减、数乘混合运算与实数的加、减、乘混合运算十分类似，运算时完全可以按照实数运算的思路进行.类题演练 2设 x 为未知向量，解方程x+3a-b=0.解析:原方程化为x+(3a-b)=0.所以x=0-(3a-b),x=-3a+b.所以 x=-9a+b.变式提升 2如右图所示,已知ABCD 的边 BC、CD 上的中点分别为 K，L，且= e1,= e2，试用e1, e2表示，.解析：设=x,则=x,=e1-x,=e1-x，又=x,由+=，得x+e1-x= e2,解方程，得 x=e2-e1即=e2-e1.由=-，=e1-x,得=e1+e2.3.向量共线的应用【例 3】 已知两个非零向量 e1和 e2不共线，且 ke1+ e2和 e1+ke2共线，求实数 k 的值.思路分析：因为 ke1+e2和 e1+ke2共线，所以一定存在实数 λ，使得 ke1+e2=λ(e1+ke2).解： ke1+e2和 e1+ke2共线，∴存在实数 λ，使得 ke1+e2=λ(e1+ke2).∴(k-λ)e1=(λk-1)e2. e1和 e2不共线，∴∴k=±1.友情提示 本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于 k 的方程，用待定系数法解决问题.类题演练 3a=e1+2e2,b=3e1-4e2,且 e1、e2共线，则 a 与 b（ ）A.共线 B.不共线C.可能共线，也可能不共线 D.不能确定解析： e1与 e2共线，则存在实数 e1=λe2,∴a=e1+2e2=(λ+2)e2,b=3e1-4e2=(3λ-4)e2,当 3λ-4≠0 时，a=b，故 a 与 b 共线.当 3λ-4=0 时，b=0,a 与 b 也共线.答案：A变式提升 3 设 e1、e2 是不共线的...
