2.2 排序不等式1.了解排序不等式的“探究—猜想—证明—应用”的研究过程.2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.自学导引设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为 b1，b2，…，bn的任一排列，称 a1b1＋a2b2＋…＋anbn为两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称 a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为两个实数组的反序积之和(简称反序和).称 a1c1＋a2c2＋…＋ancn为两个实数组的乱序积之和(简称乱序和).不等式 a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn称为排序原理，又称为排序不等式.等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或 b1＝ b 2＝…＝ b n，排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和.基础自测1.已知 a，b，c∈R*，则 a3＋b3＋c3与 a2b＋b2c＋c2a 的大小关系是( )A.a3＋b3＋c3>a2b＋b2c＋c2aB.a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2aC.a3＋b3＋c3
0，∴a2≥b2≥c2，故顺序和为 a3＋b3＋c3，则 a2b＋b2c＋c2a 为乱序和，由排序不等式定理知 a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a，故选 B.答案 B2.已知 a，b，c∈R*，则 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )A.大于零 B.大于等于零C.小于零 D.小于等于零解析 不妨设 a≥b≥c，∴a2≥b2≥c2，ab≥ac≥bc，∴a2－bc≥b2－ac≥c2－ab，由排序不等式定理，a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.1答案 B3.设 a1，a2，a3，…，an为正数，那么 P＝a1＋a2＋…＋an与 Q＝＋＋…＋＋的大小关系是________.解析 假设 a1≥a2≥a3≥…≥an，则≥≥…≥≥，并且 a≥a≥a≥…≥a，P＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＋＋＋…＋，是反顺和，Q 是乱顺和，由排序不等式定理 P≤Q.答案 P≤Q知识点 1 利用排序原理证明不等式【例 1】 已知 a，b，c 为正数，求证：≥abc.证明 根据所需证明的不等式中 a，b，c 的“地位”的对称性，不妨设 a≥b≥c，则≤≤，bc≤ca≤ab.由排序原理：顺序和≥乱序和，得：＋＋≥＋＋.即≥a＋b＋c，因为 a，b，c 为正数，所以 abc>0，a＋b＋c>0，于是≥abc.1.已知 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，求证：(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≥(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn).证明 令 S＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，则S≥a1b2＋a2b3＋…＋anb1，S≥a1b3＋a2b4＋…＋anb2，……S≥a1bn＋a2b1＋…＋anbn－1将上面 n 个式子相加，并按...
