高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.2 排序不等式学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案

2．2 排序不等式[读教材·填要点]1．顺序和、乱序和、反序和的概念设 a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn是两组实数，c1，c2，c3，…，cn为 b1，b2，…，bn的任何一个排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序原理设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是 b1，b2，…，bn的任一排列，则有 a1bn＋ a 2bn－1＋…＋ a nb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋ a 2b2＋…＋ a nbn.等号成立⇔a1＝a2＝…＝an或 b1＝b2＝…＝bn.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．[小问题·大思维]1．排序不等式的本质含义是什么？提示：排序不等式的本质含义是：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列．2．已知两组数 a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中 a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将 bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1 ，c2 ，c3，c4，c5，则 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值和最小值分别为何值？提示：由顺序和最大知最大值为：a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝304，由反序和最小知最小值为：a1b5＋a2b4＋a3b3＋a4b2＋a5b1＝212.用排序不等式证明不等式(所证不等式中的字母大小顺序确定)[例 1] 已知 a，b，c 为正数，a≥b≥c，求证：(1)≥≥；(2)＋＋≥＋＋.[思路点拨] 本题考查排序不等式的直接应用，解答本题需要分析式子结构，然后通过1对比、联想公式，构造数组，利用公式求解．[精解详析] (1) a≥b>0，于是≤，又 c>0，∴>0.从而≥.同理， b≥c>0，于是≤， a>0，∴>0，于是得≥.从而≥≥.(2)由(1)≥≥，于是由顺序和≥乱序和得，＋＋≥＋＋＝＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋.利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组，由于本题已知 a≥b≥c，所以可直接利用已知构造两个数组．1．设 a，b，c 为正数，求证：＋＋≥a10＋b10＋c10.证明：不妨设 a≥b≥c>0，则 a12≥b12≥c12，≥≥>0，∴由顺序和≥乱序和，得＋＋≥＋＋＝＋＋. ①又 a11≥b11≥c11，≥≥，∴由乱序和≥反序和得：＋＋≥＋＋＝a10＋b10＋c10， ②...