高中数学 第二章 数列 2.1 第2课时 数列的递推公式与通项公式学案 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学学案

第 2 课时 数列的递推公式与通项公式学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.3.会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．知识点一 递推公式思考 数列 1,2,4,8，…的第 n 项 an与第 n＋1 项 an＋1有什么关系？答案 an＋1＝2an.梳理 如果已知数列的第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an－1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．知识点二 数列的表示方法思考 以数列 2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？答案 ①通项公式法：an＝2n.② 递推公式法：③ 列表法：n123…k…an246…2k…④ 图象法：梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．1．利用 an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}．(×)2．有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松解决．(√)3．递推公式是表示数列的一种方法．(√)类型一 数列的表示法例 1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．考点 数列的表示方法题点 数列的表示方法解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的 3 倍，第(3)个是第(2)个的 3 倍，故有递推公式 a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*，个数依次为 1,3,9,27.则所求数列的前 4 项都是 3 的指数幂，指数为序号减 1.所以，这个数列的一个通项公式是 an＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示)．反思与感悟 求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观．跟踪训练 1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第 n 个三角形数比第 n－1(n≥2，n∈N*)个三角形数多________个石子．考点 数列的递推公式题点 根据图形写出递推公式答案 n解析 a2－a1＝2...