高中数学 第二章 解三角形 2 三角形中的几何计算学案 北师大版必修5-北师大版高一必修5数学学案

2 三角形中的几何计算学习目标 1.能够运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明．知识点一 平面图形中的计算问题思考 问题：在△ABC 中，A＝，AB＝6，AC＝3，点 D 在 BC 边上，AD＝BD，求 AD 的长．拿到该问题之后，到确定解决方案之前，你通常要做哪些工作？ 梳理 对于平面图形的长度、角度、面积等计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算．知识点二 平面图形中的最值问题思考 问题：直线 x－2y－2k＝0 与直线 2x－3y－k＝0 的交点在圆 x2＋y2＝9 上或圆的内部，如何求 k 的最大值？ 梳理 类似地，对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值．知识点三 解三角形常用公式在△ABC 中，有以下常用结论：(1)a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b；(2)a>b⇔________⇔________；(3)A＋B＋C＝π，＝－；(4)sin(A＋B)＝________，cos(A＋B)＝________，sin＝____________，cos＝________.(5)三角形常用面积公式①S＝____________(ha表示 a 边上的高)；②S＝absin C＝________＝________；③S＝(可由正弦定理推得)；④S＝2R2sin A·sin B·sin C(R 是三角形外接圆半径)；⑤S＝r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径)．类型一 利用正弦、余弦定理求线段长度例 1 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求 BC 的长．反思与感悟 解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系，再利用正弦、余弦定理求解．跟踪训练 1 如图所示，在△ABC 中，已知 BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin B＝，求 BC 边上的高 AD 的长．类型二 利用正弦、余弦定理求角度问题例 2 在△ABC 中，已知 AB＝，cos∠ABC＝，AC 边上的中线 BD＝，求 sin A 的值．反思与感悟 运用正弦、余弦定理解决有关问题时，需根据需要作出辅助线构造三角形，再在三角形中运用定理求解．跟踪训练 2 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c.设 a，b，c 满足条件 b2＋c2－bc＝a2和＝＋，求 A 和 tan B 的值．类型三 利用正弦、余弦定理解决平面几何中的面积问题例 3 已知△ABC 的角 A、B、C 所对的...