高中数学 第二章 平面向量 2.1 从位移、速度、力到向量知识导航学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

§1 从位移、速度、力到向量知识梳理1.概念（1）向量、数量的定义既有大小又有方向的量叫做向量(vector)，物理学中常称为矢量.只有大小没有方向的量叫做数量，物理学中常称为标量.（2）向量与数量的区别向量具备两个要素：大小和方向，向量不能比较大小.数量只有一个要素：大小，数量没有方向，可以比较大小.2.平面向量的表示（1）有向线段一般地，在线段 AB 的两个端点中，规定一个顺序，则线段 AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.以 A 为起点，B 为终点的有向线段记作.线段 AB 的长度也叫做有向线段的长度，记作||.有向线段包含三要素：起点、方向、长度.（2）向量的表示几何表示：用有向线段来表示.此时有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的模.字母表示：用单个黑斜体的小写英文字母表示，通常印刷体如 a、b、c 等，而手写体用带箭头的小写字母表示如、…；还可用两个大写英文字母表示.3.相等向量与共线向量（1）向量的长度向量的大小，也就是向量的长度(或模)，记作||.长度为零的向量叫做零向量，记作 0.零向量的方向不确定，是任意的.长度为单位 1 的向量叫做单位向量.（2）共线向量(平行向量)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫共线向量.规定：零向量与任一向量是平行向量，记作 0∥a.任一向量与它本身都是平行向量，记作 a∥a.（3）相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.知识导学学好本节一定要弄清概念，要用类比的方法学习向量的概念，还要注意向量与数量的区别.疑难突破1.为什么两个向量不能比较大小?剖析：疑点是向量的模有大小，两个向量怎么不能比较大小,其突破口是从向量的定义来讨论.向量是既有大小又有方向的量，向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以不能比较大小.例如：老鼠由 A 向西北逃窜，如果猫由 A 向正东方向追，猫的速度再快也不可能捉到老鼠，因为猫追的方向错了.所以在研究向量时，既要研究向量的大小，又要研究向量的方向.2.向量和数量有什么区别和联系？剖析：难点是对向量和数量混淆不清.其突破口是从向量的定义来分析. 从定义上看，向量是规定了大小和方向的量，向量不同于数量，数量只有大小，而向量不仅有大小而且还有方向；数量是一个代数量，可以进行各种代数运算，数量之间可以比较大小，“大于”“小于”的概念对数量是适用的.由于向量具有方向，而方向不能比较大小，因此“大于”“小于”的概念对向量来说是没有意义的.