高中数学 第二章 解三角形 2.1.2 余弦定理学案（含解析）北师大版必修5-北师大版高二必修5数学学案

1.2 余弦定理知识点一 余弦定理 [填一填]三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2＝b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ，b2＝c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B ，c2＝a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C .余弦定理有如下变形形式：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC；cosA＝，cosB＝，cosC＝.[答一答]1．你能用正弦定理推导余弦定理吗？提示：在△ABC 中，由正弦定理得 a＝2RsinA＝2Rsin(B＋C)，R 为△ABC 外接圆的半径，所以 a2＝4R2sin2(B＋C)＝4R2(sin2Bcos2C＋cos2Bsin2C＋2sinBsinCcosBcosC)＝4R2[sin2B(1－sin2C)＋(1－sin2B)sin2C＋2sinBsinC·cosBcosC]＝4R2[sin2B＋sin2C＋2sinBsinCcos(B＋C)]＝4R2sin2B＋4R2sin2C－2(2RsinB)·(2RsinC)cosA＝b2＋c2－2bccosA.同理可推导出：b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.知识点二 余弦定理与三角形形状的关系[填一填](1)当 A 是直角时，cosA＝0，可得 b2＋c2－a2＝0，所以有 a2＝b2＋c2，△ABC 为直角三角形；(2)当 A 是锐角时，cosA>0，可得 b2＋c2－a2>0，所以有 a2b2＋c2，△ABC 为钝角三角形．[答一答]2．解三角形时，选择正弦定理和余弦定理的标准是什么？提示：要根据题目中给定的条件，灵活地选用，一般地，已知两边和一边对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形，特别是求角时，尽量用余弦定理来解，可以避免分类讨论．1．解三角形的常见类型及解法已知条件应用定理一般解法一边和两角，如 a，B，C正弦定理由 A＋B＋C＝180°，求 A，由正弦定理求出 b 与 c，有解时，只有一解两边和夹角，如 a，b，C余弦定理正弦定理由余弦定理求出第三边 c，由正弦定理求出 a 所对的角，再由 A＋B＋C＝180°，求出 B，有解时，只有一解三边，如 a，b，c，余弦定理由余弦定理求出 A，B，再利用 A＋B＋C＝180°，求出 C，有解时，只有一解两边和其中一边的对角，如a，b，A正弦定理由正弦定理求出 B，由 A＋B＋C＝180°，求出 C，再利用正弦定理求出 c，可有两解、一解或无解2.判断三角形的形状(1)在△ABC 中，以下的三角关系式，在解答有关的三角形问题时经常用到，要记准、记熟、灵活地加以运用．A＋B＋C＝π；sin(A＋B)...