§3 解三角形的实际应用举例知识点一 高度问题 [填一填]知识点二 距离问题 [填一填]知识点三 角度问题 [填一填]测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．① 坡角：坡面与水平面的夹角，如图(1)中的角 α 即为坡角．坡比：坡面的铅垂高度与水平宽度之比，即 i＝＝tanα.② 仰角与俯角是指在同一铅直平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时 ，称为仰角，当视线在水平线以下时，称之为俯角，如图(2)所示．③ 方位角：从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平夹角，如方位角是 60°，如图(3)所示．方向角：相对于某一正方向的水平角，如北偏东 60°，如图(4)所示．[答一答]1．测量高度问题的解题思路是什么？提示：测量高度问题的解题思路是放在直角三角形中，根据所给的边、角的关系，求出与所求高相关的一条直角边的长，然后再求高．2．测量距离问题的解题思路是什么？提示：测量距离问题的解题思路是把所求的问题转化到三角形中，然后利用正弦定理 、余弦定理求解．3．除了高度问题、距离问题、角度问题外，正、余弦定理还解决哪些常见问题？提示：计算面积问题、航海问题、物理问题等．解与三角形有关的应用题的基本步骤和基本思路是什么？解与三角形有关的应用题的基本步骤是：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图，化实际问题为数学问题．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形中的未知量，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．解三角形应用题要注意几点：(a)理解问题的实际背景，明确已知和所求；(b)画示意图很关键，将实际问题抽象成解三角形模型；(c)求得三角形的解后要还原为实际问题的解．这一思路描述如下：类型一 测量高度问题 【例 1】 在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 θ，沿 BE 方向前进 30 m，至点 C 处，测得顶端 A 的仰角为 2θ，再继续前进 10 m 至点 D，测得顶端 A 的仰角为 4θ，求 θ的大小和建筑物 AE 的高．【思路探究】 ∠ACE＝2θ，∠ABE＝θ⇒AC＝BC＝30，∠ADE＝4θ⇒AD＝CD＝10，∠ADC＝π－4θ.在△ACD 中，利用正弦定理求出 θ，进而在 Rt△ADE 中求出 AE.【解】 如下图， ∠ACD＝∠ABC＋∠CAB...
