第二章 解三角形1 正弦定理的几种证明方法正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题(测量)的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养学生的探索精神，思维的深度、广度和灵活度．正弦定理的内容：在△ABC 中，三边和三角分别是 a，b，c 和 A，B，C，则＝＝.一、向量法证明 在△ABC 中作单位向量 i⊥AC，则：i·AB＝i·(AC＋CB)，⇒|i||AB|sin A＝|i||CB|sin C，⇒＝，同理可证：＝，由此证得正弦定理：＝＝.二、高线法证明 在△ABC 中作高线 CD，则在 Rt△ADC 和 Rt△BDC 中，CD＝bsin A，CD＝asin B，即 bsin A＝asin B，∴＝，同理可证：＝，即正弦定理可证得．三、外接圆法证明 作△ABC 的外接圆 O，过点 C 连接圆心与圆交于点 D，连接 AD，设圆的半径为 R，∴△CAD 为 Rt△，且 b＝2Rsin D，且∠D＝∠B，∴b＝2Rsin B，即＝2R，同理：＝2R，＝2R，∴＝＝.四、面积法证明 S△ABC＝bcsin A＝absin C＝acsin B，∴＝＝.2 正弦定理的一个推论及应用在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：在△ABC 中，若 sin A>sin B，则 A 与 B 的大小关系怎样？那么几乎所有的同学都会认为 A 与 B 的大小关系不确定．若再问：在△ABC中，若 A>B，则 sin A 与 sin B 的大小关系怎样？仍然会有很多同学回答大小关系不确定．鉴于此，下面我们讲讲这个问题．一、结论例 1 在△ABC 中，sin A>sin B⇔A>B.分析 题中条件简单，不易入手．因为是在三角形中，所以可以联系边角关系的正弦定理．证明 因为 sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B(其中 R 为△ABC 外接圆的半径)，根据正弦定理变式 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(其中 a，b 分别为 A，B 的对边)，可得 sin A>sin B⇔a>b，再由平面几何定理“大角对大边，小角对小边”，可得 a>b⇔A>B.所以 sin A>sin B⇔A>B.二、结论的应用例 2 在△ABC 中，A＝45°，a＝4，b＝2，求 B.分析 在遇到这样的问题时，有的同学会直接由正弦定理得 B＝30°或 B＝150°.其实这是错误的！只需由上述结论即可发现．解 由正弦定理得＝，sin B＝，又 sin B
