高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 数乘向量学案 北师大版必修4-北师大版高中必修4数学学案

§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量1．理解向量的数乘运算及其几何意义．(重点)2．理解向量共线定理，并应用其解决相关问题．(难点)3．会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行．(易混点)[基础·初探]教材整理 数乘向量阅读教材 P82～P84“例 3”以上部分，完成下列问题．1．数乘向量及运算律(1)向量数乘的定义一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa.它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；② 当 λ>0 时，λa 与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0.(2)向量数乘的运算律设 a，b 为向量，λ，μ 为实数，则向量数乘满足：① 结合律：λ(μa)＝(λμ)a；② 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.2．共线向量定理(1)判定定理a 是一个非零向量，若存在一个实数 λ，使得 b＝λa，则向量 b 与非零向量 a 共线．(2)性质定理若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实数 λ，使得 b＝λa.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数 λ 与向量 a 的积还是向量．( )(2)实数 λ 与向量 a 的和 λ＋a 与差 λ－a 都是向量．( )(3)对于非零向量 a，向量－6a 与向量 2a 方向相反．( )(4)向量－8a 的模是向量 4a 的模的 2 倍．( )(5)若 b＝λa(a≠0)，则 a 与 b 方向相同或相反．( )(6)若 a∥b，则存在 λ∈R，使得 b＝λa.( )【解析】 由数乘向量的意义知，(1)正确，(2)错误，(3)正确，(4)正确；(5)当 b＝0 时，不能判断方向相同或相反，因而(5)错误；(6)当 a＝0，b≠0 时，就不存在实数 λ，使 b＝λa，故(6)错误．【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问 2：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问 3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小组合作型]向量的线性运算 计算：(1)3(6a＋b)－9；(2)－2；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.【精彩点拨】 根据向量加法...