高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 数乘向量学案（含解析）北师大版必修4-北师大版高二必修4数学学案

§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量,知识点一 数乘向量 [填一填]1.(1)定义：实数 λ 和向量 a 的乘积是一个向量，记作 λa.(2)长度：|λa|＝|λ|·|a|.(3)方向：λa(a≠0)的方向特别地，当 λ＝0 或 a＝0 时，0×a＝0 或 λ×0＝0.(4)几何意义由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩．当|λ|>1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的| λ | 倍；当|λ|<1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的| λ | 倍．(5)运算律设 λ，μ 为实数，则① λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb.(6)向量的线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，叫作向量的线性运算(或线性组合)．[答一答]1．向量的线性运算有哪几种？与以前学过的实数和代数式的运算有何联系和区别？提示：(1)向量的加法、减法、实数与向量的积的运算称为向量的线性运算，即(2)向量线性运算的结果是向量，实数运算的结果是实数，代数式的运算结果是代数式 ．它们的运算律形式上类似，意义却迥然不同．因此可类比实数，代数式运算的运算律来理解向量线性运算的运算律．注意：(1)数乘向量仍是一个向量，不要误认为是实数．(2)0·a 与 0 是相等的，都是向量 0，而不是实数 0.知识点二 向量共线的判定定理和性质定理 [填一填]2．(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数 λ，使得 b＝λa，则向量 b 与非零向量 a 共线．(2)性质定理：若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实数 λ，使得 b＝λa.[答一答]2．向量共线的判定定理和性质定理有何应用？提示：(1)判定定理的结论是 a∥b，那么用向量共线的判定定理可以证明两向量共线，即证明向量 a∥b，只需找到满足 b＝λa 的实数 λ 的值即可．(2)判定定理的结论是 a∥b，则有当OA＝a，OB＝b 时，有 O，A，B 三点共线，即用向量共线的判定定理可以证明三点共线，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．(3)判定定理的结论是 a∥b，当 a 和 b 所在的直线分别是直线 m 和 n 时，则有直线 m，n平行或重合，即用向量共线的判定定理可以证明两条直线平行．(4)性质定理的结论是 b＝λa，则有|b|＝|λ|·|a|，当OA＝a，OB＝b 时，|OB|＝|λ|·|OA|，从而 OB＝λOA，即用向量共线的性质定理可以证明两平行线段...