高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第二课时 等差数列的性质学案（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案

第二课时 等差数列的性质等差数列性质的应用[例 1] (1)(江西高考)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若 a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则 a5＋b5＝________.(2)已知{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求 a2＋a8的值．[解] (1)法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为 d1，d2，因为 a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以 d1＋d2＝7，所以 a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.法二： 数列{an}，{bn}都是等差数列，∴数列{an＋bn}也构成等差数列，∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.(2) a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，由等差数列的性质知 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.∴5a5＝450.∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.[答案] (1)35[类题通法]1．利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示．2．本题的求解主要用到了等差数列的以下性质：若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如 ，a15≠a7＋a8，但 a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但 a1＋a21＝2a11.[活学活用]1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么 a1＋a2＋…＋a7等于( )A．14 B．21C．28 D．35解析：选 C a3＋a4＋a5＝12，∴3a4＝12，则 a4＝4，又 a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，故 a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.2．已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则 a75＝________.解析：法一：因为{an}为等差数列，所以 a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为 d，a15为首项，则 a60为其第四项，所以 a60＝a15＋3d，得 d＝4.所以 a75＝a60＋d⇒a75＝24.法二：因为 a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，所以解得故 a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.答案：24灵活设元求解等差数列中的项[例 2] (1)三个数成等差数列，其和为 9，前两项之积为后一项的 6 倍，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为 2，首末两项的积为－8，求这四个数．[解] (1)设这三个数依次为 a－d，a，a＋d，则解得∴这三个数为 4,3,2.(2)法一：设这四个数为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为 2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即 a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1 或 d＝－1.又四个数成递增等差数列，∴d＞0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为 a，a＋d，a＋2d，a...