2.2 等差数列（二）[学习目标] 1.能根据等差数列的定义推导出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一 等差数列与一次函数1．等差数列的图象等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当 d＝0 时，an是关于 n 的常数函数；当 d≠0 时，an是关于 n 的一次函数，点(n，an)分布在以 d 为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点．2．公差 d 与斜率等差数列{an}的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差 d，即 d＝(n≥2，n∈N*)．知识点二 推广的等差数列的通项公式已知等差数列{an}中任意两项 am，an，则 an＝am＋(n－m)d.(m≤n)思考 已知等差数列{an}中的 am和 an，如何求 d?答案 由{an}的通项公式得an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d，两式相减得 an－am＝(n－m)d，∴d＝.知识点三 等差数列的性质1．若{an}，{bn}分别是公差为 d，d′的等差数列，则有数 列结 论{c＋an}公差为 d 的等差数列(c 为任一常数){c·an}公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数){an＋an＋k}公差为 2d 的等差数列(k 为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为 pd＋qd′的等差数列(p，q 为常数)2.等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….3．下标性质：在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋ a n＝ a p＋ a q．特别的，若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有 am＋ a n＝ 2 a p．思考 等差数列{an}中，若 a5＝7，a9＝19，则 a2＋a12＝________，a7＝________．答案 a2＋a12＝a5＋a9＝26 a7＝13题型一 等差数列的性质及应用例 1 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求 a4＋a8.(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若 a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求 a11＋a12＋a13的值．解 (1)方法一 根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.由题意知，3a1＋15d＝1，即 a1＋5d＝.∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝.方法二 根据等差数列性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.由 a2＋a6＋a10＝1，得 3a6＝1，解得 a6＝，∴a4＋a8＝2a6＝.(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为 d(d>0)， a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5，又 a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3 或 d＝－3(舍去)，∴a12＝a2＋10d＝35，a1...
