2.1 平行投影与圆柱面的平面截线[对应学生用书 P37][读教材·填要点]1．平行投影(1)回顾必修二定义：已知图形 F，直线 l 与平面 α 相交，过 F 上任意一点 M 作直线 MM′平行于 l，交平面 α 于点 M′，则 M′叫做点 M 在平面 α 内关于直线 l 的平行投影．如果图形F 上的所有点在平面 α 内关于直线 l 的平行投影构成图形 F′，则 F′叫做图形 F 在 α 内关于直线 l 的平行投影，平面 α 叫做投影面，l 叫做投射线，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．(2)平行投影的性质(直线与投影线不平行)：① 直线或线段的平行投影仍是直线或线段；② 平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③ 平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④ 与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤ 在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段比．2．圆柱面的平面截线如果一个平面垂直于一圆柱的轴，截圆柱所得的截线为一圆；如果一个平面与圆柱的轴所成角为锐角，截圆柱所得的截线形状为椭圆．[小问题·大思维]1．正投影与平行投影之间有什么关系？提示：正投影是平行投影中投射线的方向与投射面垂直的一种特殊情况．2．一个圆在一个平面上的正投影是什么形状？提示：若一个圆所在平面 β 与平面 α 平行，该圆在平面 α 内的正投影为一个圆；如果β 与平面 α 垂直，则圆在平面 α 的正投影为一条线段；若平面 β 与平面 α 不平行也不垂直时，该圆在平面 α 上的正投影为一个椭圆．综上可知，一个圆在一个平面上的投影可能为一条线段、椭圆或圆．[对应学生用书 P37]点的投影[例 1] 如图所示，在三棱锥 P－ABC 中，E，F 分别是 AC，AB 的中点，△ABC 和△PEF 都是正三角形，且 PF⊥AB.求证：点 C 在平面 PAB 内的正射影为点 P.[思路点拨] 本题考查正投影的概念，解答本题需证明 PC⊥平面PAB.[精解详析] 在三棱锥 P－ABC 中，由△ABC 是正三角形，可设 AB＝BC＝AC＝a.1 E，F 分别是 AC，AB 的中点，且△PEF 是正三角形，∴PE＝PF＝EF＝BC＝a. PF⊥AB，∴PA2＝AF2＋PF2＝2＋2＝a2，同理，PB2＝a2.又 AF＝AE，PF＝PE，∴PA2＝PE2＋AE2，∴PE⊥AC.∴PC2＝PE2＋EC2＝2＋2＝a2，∴PA2＋PC2＝a2＋a2＝a2＝AC2，∴PA⊥PC.又 PB2＋PC2＝a2＋a2＝a2＝BC2，∴PB⊥PC.∴PC⊥平面 PAB，即点 C 在平面 PAB 内的正射影是点...
