2.2 等差数列知识梳理1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差,通常用字母 d 表示,定义的表达式为 an+1-an=d(n∈N+).2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通项公式为 an=a1+(n-1)d.3.等差中项 若三个数 a、A、b 成等差数列,则 A 叫做 a、b 的等差中项,且 A=2ba .4.等差数列前 n 项和公式 Sn=2)(1naan或 na1+2)1(dnn.5.等差数列的单调性 等差数列{an}的公差为 d,若 d＞0,则数列为递增数列,且当 a1＜0 时,前 n 项和 Sn有最小值; 若 d＜0,则数列为递减数列,且当 a1＞0 时,前 n 项和 Sn有最大值.6.等差数列的常用性质 已知数列{an}是等差数列,首项为 a1,公差为 d.(1)若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq;推论:若 m+n=2p,则 am+an=2ap.(2)等差数列中连续 m 项的和组成的新数列是等差数列,公差等于 m2d,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…为等差数列,则有 S3m=3(S2m-Sm).(3)从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列.如 a1,a4,a7,a10,…(下标成等差数列).知识导学 等差数列是一种特殊的数列,所以学习前先对上节有关数列的概念、性质进行回顾,同时复习前面学习过的一次函数的形式与图象,并且思考一次函数与等差数列的区别.本节内容的重点是等差数列的定义和等差数列的通项公式及前 n 项和公式,要能够运用公式解决简单问题,在实际解题中注意有关技巧的运用.在理解定义时,要重视两点:一是“从第二项起”,二是“同一常数”,同时要对 a,d 的取值对单调性的影响加以分析,以加深对概念的理解和知识的巩固.疑难突破1.如何去判断或证明一个数列为等差数列呢?剖析:判断一个数列是否为等差数列,最基本也最常用的就是看这个数列是否符合等差数列的定义.一般有以下五种方法:(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N+) {an}是等差数列;(2)递推法:2an+1=an+an+2(n∈N+) {an}是等差数列;(3)性质法:利用性质来判断;(4)通项法:an=pn+q(p、q 为常数) {an}是等差数列;(5)求和法:Sn=An2+Bn(A、B 为常数,Sn为{an}的前 n 项和) {an}是等差数列.其中(4)(5)两种方法主要应用于选择、填空题中,在解答题中判断一个数列是否是等差数列,1一般用(1)(2)(3)这三种方法,而方法(3)还经常与(1)(2)混合运用.证明数列{an}是等差数列有两种基本方法:(1)利用等差数列的定义,证明 an+1-an(n≥1)为...
