高中数学 第二章 解析几何初步 2.2 圆与圆的方程 2.2.2 圆的一般方程学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案

2.2 圆的一般方程1.掌握圆的一般方程.(重点)2.了解二元二次方程表示圆的条件.(难点)3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.(难点)[基础·初探]教材整理 圆的一般方程阅读教材 P81“练习”以下至 P82“例 3”以上部分，完成下列问题.1.圆的一般方程的定义：当 D2＋E2－4F＞0 时，称二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程.2.方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形：方程条件方程的解的情况图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0没有实数解不表示任何图形D2＋E2－4F＝0只有一个实数解表示一个点D2＋E2－4F>0无数个解表示以为圆心，以为半径的圆将圆的一般方程 x2＋y2＋2x－4y－4＝0 化为标准方程为______.【解析】 x2＋y2＋2x－4y－4＝0 可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝9.【答案】 (x＋1)2＋(y－2)2＝32[小组合作型]二元二次方程与圆的关系 判断方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 能否表示圆.若能表示圆，求出圆心和半径；若不能，请说明理由.【精彩点拨】 解答本题可直接利用 D2＋E2－4F>0 是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数.【自主解答】 法一：由方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知 D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当 m＝2 时，它表示一个点；当 m≠2 时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为 r＝＝|m－2|.法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当 m＝2 时，它表示一个点；当 m≠2 时，表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为 r＝|m－2|.解决这种类型的题目，一般要看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即 (1)x2与 y2的系数是否相等；(2)不含 xy 项.当它具有圆的一般方程的特征时，再看 D2＋E2－4F>0 是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数.[再练一题]1.如果 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 是圆的方程，则实数 k 的范围是________.【解析】 由题意可知(－2)2＋12－4k>0，即 k<.【答案】 求圆的一般方程 求圆心在直线 y＝x 上，且经过点 A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程.【精彩点拨】 →→【自主解答】 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心是，由题意知，解得 D＝E＝－4，F＝－2，即所求圆的一般方程是 x2＋y2－4x－4y－2＝0.【答案】 x2＋y2－4x－4y－2＝0用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择：...