高中数学 第二章 解析几何初步 2.2 圆与圆的方程 2.2.2 圆的一般方程学案（含解析）北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案

2.2 圆的一般方程知识点一 圆的一般方程 [填一填]1．圆的一般方程的定义当 D2＋E2－4F>0 时，二元二次方程 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 才表示一个圆，这时这个方程叫作圆的一般方程．2．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形[答一答]1．形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元二次方程都表示圆吗？提示：不是，只有 D2＋E2－4F>0 时才表示圆．2．圆的标准方程和一般方程各有什么特点？二者怎样互化？提示：(1)圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标和半径长．(2)圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，圆心和半径长需要代数运算才能得出．(3)二者可以互化：将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程，将圆的一般方程配方即得标准方程．3．已知 P(x0，y0)，圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，如果 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0，那么点 P 一定在圆内吗？提示：一定在圆内．圆的方程化为标准方程得(x＋)2＋(y＋)2＝，由上节标准方程知点 P在圆内⇔(x0＋)2＋(y0＋)2<⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0.知识点二 动点的轨迹方程 [填一填]在直角坐标平面上，一个动点按照某种规律运动，所形成的曲线称为这个动点的 轨迹，曲线的方程称为动点的轨迹方程．求轨迹方程的一般步骤为：(1)建系：建立适当的平面直角坐标系；(2)设点：用(x，y)表示动点的坐标，该点是轨迹(曲线)上任意一点；(3)列式：列出关于 x，y 的方程；(4)化简：化方程为最简形式；(5)证明：证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点．说明：因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以步骤 (5)可以省略不写，如果有特殊情况，可适当予以说明．[答一答]4．求轨迹方程最常用的方法有哪几种？(列出三种即可)提示：(1)直接法；(2)几何法；(3)相关点法(答案不唯一)．5．轨迹和轨迹方程等价吗？二者的联系是什么？提示：(1)不等价．“轨迹”与“轨迹方程”有区别．“轨迹”是图形，是指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．(2)求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程．1．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D，E，F 为常数)具有以下特点(1)x2，y2项的系数相等且不为 0(如果 x2和 y2项的系数是不等于 1 的非零常数，只需在方程两边除以这个数，就可以变系数为 1)；(2)...