高中数学 第二章 解析几何初步 2.2 圆与圆的方程学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学学案

第 1 课时 圆的标准方程 [核心必知]1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点就是圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程(1)圆心为(a，b)，半径是 r，圆的标准方程是( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 .(2)当圆心在原点时，圆的方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 .3．中点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为.[问题思考]1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆心坐标是什么？半径呢？提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.2．由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和半径． 讲一讲1．写出下列各圆的标准方程．(1)圆心在原点，半径为 8；(2)圆心在(2,3)，半径为 2；(3)圆心在(2，－1)且过原点．[尝试解答] 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1) 圆心在原点，半径为 8，即 a＝0，b＝0，r＝8，∴圆的方程为 x2＋y2＝64.(2) 圆心为(2,3)，半径为 2，即 a＝2，b＝3，r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.(3) 圆心在(2，－1)且过原点，∴a＝2，b＝－1，r＝＝.∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．练一练1．求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点 A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段 AB 为直径；(3)圆心在直线 x＝2 上且与 y 轴交于两点 A(0，－4)，B(0，－2)．解：(1)由两点间距离公式，得 r＝＝，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.(2)圆心即为线段 AB 的中点，为(1，－3)．又|AB|＝＝2，∴半径 r＝.∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，半径 r＝＝，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 讲一讲2．已知两点 P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段 P1P2 为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)，Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？[尝试解答] 由已知得圆心坐标为 C(1,4)，圆的半径 r＝|P1P2|＝＝2.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝8. (2－1)2＋(2－4)2＝5＜8，(5－1)2＋(0－4)2＝32＞8，(3－1)2＋(2－4)2＝8，∴点 M 在圆内，点 N 在圆外，点 Q 在圆上．判定点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系，即比较|MC|与 r 的关系：若点 M 在圆 C 上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；若点 M 在...