高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 1.1 椭圆及其标准方程学案（含解析）北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案

1．1 椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一 椭圆的定义1．定义平面内到两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点 F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．2．椭圆的集合表示设 M 为椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点为 F1，F2，根据椭圆的定义可知，椭圆可以视为动点 M 的集合，表示为{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|，a 为常数}．知识点二 椭圆的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1( － c ,0) ， F 2( c ,0) F1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c ) a，b，c 的关系c 2 ＝ a 2 － b 2 1．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的集合叫作椭圆．( × )2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( × )3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备 a2＝b2＋c2.( √ )题型一 求椭圆的标准方程例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；(3)经过点 P，Q.1考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 (1)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以所以所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，即 a＝，又 c＝2，所以 b2＝a2－c2＝6，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.(3)方法一 ①当椭圆焦点在 x 轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意，有解得由 a>b>0，知不合题意，故舍去；② 当椭圆焦点在 y 轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意，有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二 设椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．则解得所以所求椭圆的方程为 5x2＋4y2＝1，故椭圆的标准方程为＋＝1.反思感悟 求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在 x...