第 2 课时 等差数列的性质学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一 等差数列的性质思考 还记得高斯怎么计算 1＋2＋3＋…＋100 的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？答案 利用 1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….梳理 在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则 an＋am＝2ap.知识点二 由等差数列衍生的新数列思考 若{an}是公差为 d 的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？答案 (an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d.∴{an＋an＋2}是公差为 2d 的等差数列．梳理 若{an}，{bn}分别是公差为 d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为 d 的等差数列(c 为任一常数){c·an}公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数){an＋an＋k}公差为 2d 的等差数列(k 为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为 pd＋qd′的等差数列(p，q 为常数)1．已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率．(√)2．在等差数列{an}中，若 l，m，n，p，q，r∈N*，且 l＋m＋n＝p＋q＋r，则 al＋am＋an＝ap＋aq＋ar.(√)3．在等差数列{an}中，若 m＋n 为偶数，且 m，n∈N*，则＝.(√)类型一 等差数列推广通项公式的应用2m+na例 1 在等差数列{an}中，已知 a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．考点 等差数列基本量的计算问题题点 等差数列公差有关问题解 因为 a8＝a2＋(8－2)d，所以 17＝5＋6d，解得 d＝2.又因为 an＝a2＋(n－2)d，所以 an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．跟踪训练 1 数列{an}的首项为 3，{bn}为等差数列，且 bn＝an＋1－an(n∈N*)，若 b3＝－2，b10＝12，则 a8＝________.考点 等差数列基本量的计算问题题点 等差数列公差有关问题答案 3解析 {bn}为等差数列，设其公差为 d，则 d＝＝＝2，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝b7＋b6＋…＋b1＋a1＝(b7＋b1)＋(b6＋b2)＋(b5＋b3)＋b4＋a1＝7b4＋a1＝7×0＋3＝3.类型二 等差数列与一次函数的关系例 2 已知数列{an}的通项公式 an＝pn＋q，...
