2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标：1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．平面向量数量积的坐标表示：设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.数量积a·b＝x1x2＋ y 1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 2.向量模的公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝.3．两点间的距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.4．向量的夹角公式：设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 夹角为 θ，则cos θ＝＝.[基础自测]1．思考辨析(1)两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足 x1y2－x2y1＝0，则向量 a，b 的夹角为 0°.( )(2)已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0.( )(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( )[解析] (1)×.因为当 x1y2－x2y1＝0 时，向量 a，b 的夹角也可能为 180°.(2)×.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)×.因为两向量的夹角有可能为 180°.[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知 a＝(2，－1)，b＝(2,3)，则 a·b＝________，|a＋b|＝________.1 2 [a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，|a＋b|＝＝2.]3．已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若 a⊥b，则 m＝________. [因为 a⊥b，所以 a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得 m＝.]4．已知 a＝(3,4)，b＝(5,12)，则 a 与 b 夹角的余弦值为________． [因为 a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13，所以 a 与 b 夹角的余弦值为＝＝.][合 作 探 究·攻 重 难]平面向量数量积的坐标运算 (1)如图 244，在矩形 ABCD 中，AB＝，BC＝2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是________．图 244(2)已知 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10.① 求 a 的坐标；② 若 c＝(2，－1)，求 a(b·c)及(a·b)c.[思路探究] (1)→→(2) ① 先由 a＝λb 设点 a 坐标，再由 a·b＝10 求 λ.② 依据运算顺序和数量积的坐标公式求值．(1) [(1)以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴、AD 为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)．可设 F(x,2)，因为AB·AF＝(，0)·(x,2)＝x＝，所以 x＝1，所以AE·BF＝(，1)·(1－，2)＝.(2)① 设 a＝...
