第 2 课时 等差数列前 n 项和的性质学习目标 1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前 n 项和的函数特征求最值．知识点一 等差数列{an}的前 n 项和 Sn的性质性质 1等差数列中依次 k 项之和 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为 k2d 的等差数列性质 2若等差数列的项数为 2n(n∈N＋)，则 S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S 奇＝nd，＝(S 奇≠0)；若等差数列的项数为 2n－1(n∈N＋)，则 S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S 奇－S 偶＝an，＝(S 奇≠0)性质 3{an}为等差数列⇒为等差数列思考 若{an}是公差为 d 的等差数列，那么 a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是否也是等差数列？如果是，公差是多少？答案 (a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)＝3d＋3d＋3d＝9d，(a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝(a7－a4)＋(a8－a5)＋(a9－a6)＝3d＋3d＋3d＝9d.∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为 9d 的等差数列．知识点二 等差数列{an}的前 n 项和公式的函数特征1．公式 Sn＝na1＋可化成关于 n 的表达式：Sn＝n2＋n.当 d≠0 时，Sn关于 n 的表达式是一个常数项为零的二次式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前 n项和公式是关于 n 的二次函数，它的图象是抛物线 y＝x2＋x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前 n 项和的最值(1)在等差数列{an}中，当 a1>0，d<0 时，Sn有最大值，使 Sn取得最值的 n 可由不等式组确定；当 a1<0，d>0 时，Sn有最小值，使 Sn取到最值的 n 可由不等式组确定．(2)Sn＝n2＋n，若 d≠0，则从二次函数的角度看：当 d>0 时，Sn有最小值；当 d<0 时，Sn有最大值．当 n 取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．1．等差数列的前 n 项和一定是常数项为 0 的关于 n 的二次函数．( × )2．等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝An2＋bn.即{an}的公差为 2A.( √ )3．若等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn.则的公差为.( √ )4．数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋1，则{an}不是等差数列．( √ )题型一 等差数列前 n 项和的性质的应用例 1 (1)等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求数列{an}的前 3m 项的和 S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，已知＝，求的值．解 (1)方法一 在等差数列中， Sm，S2m－Sm，S3m－S...
