2.2.2 等差数列的前 N 项和课堂探究一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题剖析：(1)当等差数列{an}有偶数项时，设项数为 2n，设 S 偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，①S 奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，②①－②，得 S 偶－S 奇＝nd．①＋②，得 S 偶＋S 奇＝S2n．，得＝＝＝．(2)当等差数列{an}有奇数项时，设项数为 2n＋1，设 S 奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，③S 偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，④③－④，得 S 奇－S 偶＝a1＋nd＝an＋1．③＋④，得 S 偶＋S 奇＝S2n＋1＝(2n＋1)an+1．，得＝＝＝．综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质：(1)项数为 2n 时，S 偶－S 奇＝nd，S 偶＋S 奇＝S2n，＝．(2)项数为 2n＋1 时，S 奇－S 偶＝a1＋nd＝an+1，S 偶＋S 奇＝S2n+1＝(2n＋1)an+1，＝＝．熟练运用这些性质，可以提高解题速度．知识链接：除了上述性质外，与前 n 项和有关的性质还有：① 等差数列的依次连续每 k 项之和 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为 k2d 的等差数列．② 若 Sn为数列{an}的前 n 项和，则{an}为等差数列等价于是等差数列．③ 若{an}，{bn}都为等差数列，Sn，Sn′为它们的前 n 项和，则＝．二、教材中的“？”如果仅利用通项公式，能求出使得 Sn最小的序号 n 的值吗？剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号 n 的值．因为该数列的通项公式为 an＝4n－32，其各项为－28，－24，…，－4，0，4，…，可以看出，所有负数或非正数的项相加其和最小时，n 的值为 7 或 8．三、教材中的“思考与讨论”1．如果已知数列{an}的前 n 项和 Sn的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？剖析：确定了，由公式 an＝11,,1,2,nnS nSSn来求解，求解时注意要分类讨论，然后对 n＝1 的情况进行验证，能写成统一的形式就将 a1合进来，否则保留分段函数形式．2．如果一个数列的前 n 项和的公式是 Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？剖析：等差数列前 n 项和公式变形为 Sn＝n2＋n．当 d≠0 时，是关于 n 的二次函数，如果一个数列的前 n 项和公式是 Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c 为常数)，那么这个数列的通项公式是 an＝,1,2,2.abc nanab n 只有当 c＝0 时，a1＝a＋b＋c 才满足 an＝2an－a＋b．因此，当数列的前 n 项和公式为 Sn1＝an2...
