高中数学 第二章 数列 2.2.3 第2课时 等差数列前n项和公式的变形及应用学案 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学学案

第 2 课时 等差数列前 n 项和公式的变形及应用学习目标 1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前 n 项和的函数特征求最值．知识点一 等差数列前 n 项和与等差中项的关系思考 在等差数列{an}中，若 a3＝2，求 S5.答案 S5＝＝5·＝5a3＝10.梳理 等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝，其中为 a1，an的等差中项，若结合性质“m＋n＝p＋q得 am＋an＝ap＋aq，”还可把 a1＋an换成 a2＋an－1，a3＋an－2，….知识点二 等差数列前 n 项和的最值思考 我们已经知道当公差 d≠0 时，等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数 Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的前 n 项和 Sn何时有最大值？何时有最小值？答案 由二次函数的性质可以得出：当 a1<0，d>0 时，Sn 先减后增，有最小值；当 a1＞0，d<0 时，Sn先增后减，有最大值；且 n 取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．梳理 等差数列前 n 项和的最值与{Sn}的单调性有关：(1)若 a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或 0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．(2)若 a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或 0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．(3)若 a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若 a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值．1．等差数列的前 n 项和一定是常数项为 0 的关于 n 的二次函数．(×)2．等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝(n≥3)．(√)3．若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则为等差数列．(√)类型一 等差数列前 n 项和的性质的应用例 1 (1)等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求数列{an}的前 3m 项的和 S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，已知＝，求的值．考点 等差数列前 n 项和性质运用题点 等差数列连续 m 项和成等差数列解 (1)方法一 在等差数列中， Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100 成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.方法二 在等差数列中，，，成等差数列，∴＝＋.即 S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.(2)＝＝＝＝＝.反思与感悟 等差数列前 n 项和 Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练 1 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前 n 项和，已知 S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前 n 项和，求 Tn.考...