高中数学 第二章 数列 2.3 等比数列名师导航学案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学学案VIP专享

2.3 等比数列知识梳理1.等比数列的有关概念(1)一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,表示为nnaa1 =q(n≥1)(q≠0).(2)若三个数 a,G,b 满足 G2=ab,则 G 叫做 a,b 的等比中项.(3)等比数列的通项公式 an=a1qn-1.(4)等比数列的前 n 项和公式.1,11)1(,1,111qqqaaqqaqnaSnnn2.等比数列的性质(1)若 m+n=p+q(m,n,p,q 都是正整数),则 am·an=ap·aq.在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的积.a1an=a2an-1=a3an-2=…=al·an-l+1.(2)当 q＞1 时,如果存在一项 a＞0(或＜0),那么等比数列中的数随项数的增大而增大(或减少).当 0＜q＜1 时,如果存在一项 a＞0(或＜0),那么等比数列中的数随项数的增大而减少(或增大).当 q=1 时,等比数列中的数等于同一个常数.当 q＜0 时,等比数列中的数不具有单调性.(3)如果数列{an}是等比数列,那么数列{c·an}(c 为常数),{an-1}、{|an|}也是等比数列,且其中{c·an}的公比不变,{an-1}的公比等于原公比的倒数,{|an|}的公比等于原公比的绝对值.另外若有 m 个等比数列,它们的各对应项之积组成一个新的等比数列.知识导学 等比数列与等差数列有很多类似的性质,所以在学习的时候应该把等比数列和等差数列进行类比,从定义到通项公式、前 n 项和公式、性质以及解决问题的思路都要进行比较.通过复习等差数列的定义和性质去学习理解等比数列的定义和性质,在学习中注意理解等差数列中的“差是一个常数”与等比数列中的“比是一个常数”.并在学习本节知识前复习指数函数 y=ax(a＞0 且 a≠1)的图象等有关知识,类比等差数列的通项公式与一次函数的关系来理解等比数列与指数函数的关系.学习的时候应注意区分它们的不同之处.疑难突破1.等比数列概念的理解. 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示.要注意理解“公比 q≠0”,等比数列的首项不为 0,等比数列的每一项都不为 0,即 an≠0;另外,强调“从第 2 项起”,是为了保证每一项的前一项存在,公比的基本特征是“同一常数”,如果漏掉了“同一”两字,就会破坏等比数列中各项的共同性质.2.等比数列前ｎ项和的推导利用了错位相减法,如何理解这一方法? 错位相减法求数列和的实质是把等式两边同乘以等比数列的公比 q,得一新的...