高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的计算教学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学教学案

§5 夹角的计算第一课时 直线间的夹角、平面间的夹角山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的 A 处，乙站在山坡斜面上的 B 处，从 A，B 两点到直线 l(水平地面与山坡的交线)的距离 AC 和BD 分别为 30 m 和 40 m，CD 的长为 60 m，AB 的长为 80 m.问题 1：直线 AC 和 BD 的夹角范围是什么？向量与向量的夹角范围是什么？提示：，[0，π]．问题 2：直线 AC 与 BD 的夹角与〈，〉有什么关系？提示：当 0≤〈，〉≤时，它们相等；当<〈，〉≤π 时，直线 AC 与 BD 的夹角为 π－〈，〉．问题 3：上图中水平地面与斜坡面的夹角 α 与〈，〉有什么关系？为什么？提示：α＝π－〈，〉，因为图中两平面夹角(即为直线 BD 与 CA 的夹角)为锐角，而〈，〉为钝角，所以 α＝π－〈，〉．问题 4：若 n1，n2 分别为两个平面 π1，π2 的法向量，则 π1 与 π2 的夹角 θ 与〈n1，n2〉有什么关系？提示：当 0≤〈n1，n2〉≤时，θ＝〈n1，n2〉；当<〈n1，n2〉≤π 时，θ＝π－〈n1，n2〉．1．两直线的夹角当两条直线 l1与 l2共面时，把两条直线交角中，范围在内的角叫做两直线的夹角．2．异面直线 l1与 l2的夹角(1)定义：直线 l1与 l2是异面直线，在直线 l1上任取一点 A 作 AB∥l2，则直线 l 1 和直线 AB 的夹角叫作异面直线 l1与 l2的夹角．(2)计算：设直线 l1与 l2的方向向量分别为 s1，s2.当 0≤〈s1，s2〉≤时，直线 l1与 l2的夹角等于〈s1，s2〉；当<〈s1，s2〉≤π 时，直线 l1与 l2的夹角等于 π－〈s1，s2〉．3．平面间的夹角(1)定义：平面 π1与 π2相交于直线 l，点 R 为直线 l 上任意一点，过点 R，在平面 π 1上作直线 l1⊥l，在平面 π 2 上作直线 l2⊥l，则直线 l 1 和 l 2 的夹角叫作平面 π1与 π2的夹角．(2)计算：已知平面 π1和 π2的法向量分别为 n1和 n2，当 0≤〈n1，n2〉≤时，平面 π1和 π2的夹角等于〈n1，n2〉；当<〈n1，n2〉≤π 时，平面 π1和 π2的夹角等于 π－〈n1，n2〉．1．求空间角时，要注意角的范围．(1)异面直线夹角范围是；(2)两平面夹角范围是.2．求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求解；也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求解，但要注意其转化关系．求异面直线的夹角[例 1] 如图所示，在四棱锥 P－ABC...