2．4 向量的数量积(一)[学习目标] 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．[知识链接]1．如图，一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，且力 F 与位移 s 的夹角为 θ，那么力 F 所做的功 W 是多少？答 W＝|F||s|cos θ.2．向量的数量积与数乘向量的区别是什么？答 向量的数量积 a·b 是一个实数，不考虑方向；数乘向量 λa 是一个向量，既有大小，又有方向．[预习导引]1．向量的夹角对于两个非零向量 a 和 b，如图，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量 a 与b 的夹角．当 θ＝0 时，a 与 b 同向；当 θ＝π 时，a 与 b 反向．当 θ＝时，则称向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.2．向量的数量积(内积)(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是 θ，我们把数量|a||b|·cos θ 叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ.(2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0.3．数量积的几何意义a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．要点一 平面向量数量积的基本概念例 1 下列判断：①若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0；②已知 a，b，c 是三个非零向量，若 a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③ a，b 共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|
0，则 a 与 b 的夹角为锐角；⑧若 a，b 的夹角为 θ，则|b|cos θ 表示向量 b 在向量 a 方向上的投影长．其中正确的是________．答案 ①②⑥解析 对于①，由于 a2≥0，b2≥0，所以，若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0，故①正确；对于②，若 a＋b＝0，则 a＝－b，又 a，b，c 是三个非零向量，所以 a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b 共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③错．对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错；对于⑤，应该是 a·a·a＝|a|2a，所以⑤错；对于⑥，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；对于⑦，当 a 与 b 的夹角为 0°时，也有 a·b>0，因此⑦错；对于⑧，|b|cos θ 表示向量 b 在向量 a 方向上的投影的数量，而非投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．规律方法 对于...
