高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5 夹角的计算学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学学案

5 夹角的计算学习目标 1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念.2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解.知识点一 直线间的夹角思考 1 设 a，b 分别是空间两条直线 l1，l2的方向向量，则 l1与 l2的夹角大小一定为〈a，b〉吗？思考 2 当两条直线平行时，它们的夹角是多少？梳理 (1)共面直线的夹角当两条直线 l1与 l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在[0，]内的角叫作两直线的夹角，如图所示，当两条直线垂直时，夹角为__________.(2)异面直线的夹角当直线 l1与 l2是异面直线时，在直线 l1上任取一点 A 作 AB∥l2，我们把直线 l1和直线 AB 的夹角叫作异面直线 l1与 l2的夹角，如图所示. 两条异面直线的夹角的范围为________，当夹角为时，称这两条直线异面______.综上，空间两条直线的夹角的范围是____________.(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定.已知直线 l1与 l2的方向向量分别为s1，s2.当 0≤〈s1，s2〉≤时，直线 l1与 l2的夹角等于____________；当＜〈s1，s2〉≤π 时，直线 l1与 l2的夹角等于____________.知识点二 平面间的夹角思考 若平面 π1与平面 π2平行，则它们的夹角是多少？梳理 (1)平面间夹角的概念如图，平面 π1与 π2相交于直线 l，点 R 为直线 l 上任意一点，过点 R，在平面 π1上作直线1l1⊥l，在平面 π2上作直线 l2⊥l，则 l1∩l2＝R.我们把直线 l1和 l2的夹角叫作平面 π1与 π2的夹角.由平面间夹角的概念可知，空间中两个平面的夹角的范围是____________.当夹角等于 0 时，两个平面______；当夹角等于时，两个平面互相______.(2)两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定.已知平面 π1与 π2的法向量分别为 n1与 n2.当 0≤〈n1，n2〉≤时，平面 π1与 π2的夹角等于__________________；当＜〈n1，n2〉≤π 时，平面 π1与 π2的夹角等于__________________.事实上，设平面 π1与平面 π2的夹角为 θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.知识点三 直线与平面的夹角思考 若直线 l 与平面的夹角是 0，则直线 l 与平面是否一定平行？梳理 (1)直线与平面夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角，如图所示.(2)直线与平面夹角的范围如果一条直线与一个...