高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用课堂探究学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

2.4 向量的应用课堂探究探究一 向量在平面几何中的应用用向量的方法证明有关平面图形中平行、垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法：(1)要证两线段 AB＝CD，可转化为证明||＝||或＝；(2)要证两线段 AB∥CD，只要证明存在一实数 λ≠0，使＝λ成立；(3)要证两线段 AB⊥CD，可转化为证明·＝0；(4)要证 A，B，C 三点共线，只要证明存在一实数 λ≠0，使＝λ，或若 O 为平面上任一点，则只需要证明存在实数 λ，μ(其中 λ＋μ＝1)，使＝λ＋μ．【例 1】 如图，若点 D 是△ABC 内一点，并且满足 AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC．分析：借助向量的减法分别表示出向量，然后代入已知条件证明．证明：设＝c，＝b，＝m，则＝－＝m－c，＝－＝m－b．因为 AB2＋CD2＝AC2＋BD2，所以 c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，所以 2m·(c－b)＝0,2·(－)＝0．所以·＝0，所以 AD⊥BC．反思基本思路就是将已知条件 AB2＋CD2＝AC2＋BD2转化为与的关系，而又可表示为－，所以就变成了讨论和，的关系，因此可设这三个向量，再用它们来表示和，就能得到结论．探究二 向量在解析几何中的应用1．利用向量的方法来解决解析几何中有关直线平行、垂直等问题．2．要掌握向量用坐标表示的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．【例 2】 过点 A(－2,1)，求：(1)与向量 a＝(3,1)平行的直线方程；(2)与向量 b＝(－1,2)垂直的直线方程．分析：在直线上任取一点 P(x，y)，则＝(x＋2，y－1)．根据∥a 和⊥b解题即可．解：设所求直线上任意一点 P 的坐标为(x，y)．因为 A(－2,1)，所以＝(x＋2，y－1)．(1)由题意，知∥a，所以(x＋2)×1－3(y－1)＝0，即 x－3y＋5＝0．所以所求直线方程为 x－3y＋5＝0．(2)由题意，知⊥b，所以(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，即 x－2y＋4＝0，所以所求直线方程为 x－2y＋4＝0．反思已知直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则向量(A，B)与直线 l 垂直，即向量(A，B)为直线 l 的法向量；向量(－B，A)与 l 平行，故过点 P(x0，y0)与直线 l 平行的直线方程为 A(x－x0)＋B(y－y0)＝0．探究三 向量在物理中的应用用向量方法解决物理问题的步骤：(1)把物理问题中的相关量用向量表示；(2)转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；(3)把结果还原为物理问题．【例 3】 如图所示，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到...