高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列（第2课时）等比数列的性质学案（含解析）新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学学案

第 2 课时 等比数列的性质学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算.知识点一 等比数列通项公式的推广和变形等比数列{an}的公比为 q，则an＝a1·q n -1 ①＝am·q n - m ②＝·q n ③其中当②中 m＝1 时，即化为①.当③中 q＞0 且 q≠1 时，y＝·qx为指数型函数．知识点二 等比数列常见性质(1)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an-m+1(n>m 且 n，m∈N＋)；(2)若 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则 ak·al＝am·an；(3)若 m，p，n 成等差数列，则 am，ap，an成等比数列；(4)在等比数列{an}中，连续取相邻 k 项的和(或积)构成公比为 qk(或)的等比数列；(5)若{an}是等比数列，公比为 q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是 q，，q2.(6)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是 p 和 q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为 pq 和.1．an＝amqn-m(n，m∈N＋)，当 m＝1 时，就是 an＝a1qn-1.( √ )2．等比数列{an}中，若公比 q<0，则{an}一定不是单调数列．( √ )3．若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．( × )4．若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列．( × )2kq题型一 等比数列通项公式的推广应用例 1 已知等比数列{an}中．(1)若 a4＝2，a7＝8，求 an；(2)若{an}为递增数列，且 a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式 an.解 (1) ＝q7-4＝，即 q3＝4，∴q＝，∴(n∈N＋)．(2)由 a＝a10＝a5·q10-5，且 a5≠0，得 a5＝q5，即 a1q4＝q5，又 q≠0，∴a1＝q.由 2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan， an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，解得 q＝或 q＝2. a1＝q，且{an}为递增数列，∴∴an＝2·2n-1＝2n(n∈N＋)．反思感悟 (1)应用 an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.(2)等比数列的单调性由 a1，q 共同确定，但只要单调，必有 q>0.跟踪训练 1 已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则 a3＋a5＋a7等于( )A．21B．42C．63D．84答案 B解析 设等比数列{an}的公比为 q，则由 a1＝3，a1＋a3＋a5＝21 得 3(1＋q2＋q4)＝21，解得 q2＝－3(舍去)或 q2＝2，于是 a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选 B.题型二 等比数列的性质及其应用例 2 已知{an}为等比数列...