高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列（二）学案 新人教B版必修5-新人教B版高一必修5数学学案VIP专享

2.3.1 等比数列(二)[学习目标] 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断成等比数列的方法．[知识链接]在等差数列{an}中，通项公式可推广为 am＝an＋(m－n)d，并且若 m＋n＝p＋q，则 an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若 m＋n＝2p，则 an＋am＝2ap.那么，在等比数列中又有哪些类似的性质？[预习导引]1．等比数列的第二通项公式等比数列的通项公式为：an＝a1q n － 1 ，推广形式为：an＝am·q n － m (n，m∈N＋)．2．等比数列的性质(1)如果 m＋n＝k＋l，则有 am· a n＝ a k· a l.(2)如果 m＋n＝2k 时，am·an＝a.(3)若 m，n，p 成等差数列，am，an，ap成等比数列．(4)在等比数列{an}中，每隔 k 项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为 q1，q2，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即 a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….要点一 等比数列性质的应用例 1 已知数列{an}为等比数列．(1)若 an>0，且 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求 a3＋a5的值；(2)若 a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．解 (1) a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a＋2a3a5＋a＝36，∴(a3＋a5)2＝36，又 an>0，∴a3＋a5＝6.(2) a＝a1a3代入已知，得 a＝8，∴a2＝2.设前三项为，2,2q，则有＋2＋2q＝7.整理，得 2q2－5q＋2＝0，∴q＝2 或 q＝.∴或∴an＝2n－1或 an＝23－n.规律方法 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立 a1，q 的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．跟踪演练 1 (1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求 a11的值．(2)已知数列{an}成等比数列．若 a3a4a5＝8，求 a2a3a4a5a6的值．解 (1)在等比数列{an}中， a1·a9＝a3·a7，∴由已知可得 a3·a7＝64 且 a3＋a7＝20.联立得或 {an}是递增等比数列，∴a7>a3.∴取 a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4.∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.(2)由 a3a5＝a，得 a3a4a5＝a＝8.解得 a4＝2.又 a2a6＝a3a5＝a，∴a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.要点二 灵活设项求解等比数列例 2 有四个...