高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列（一）学案 新人教B版必修5-新人教B版高一必修5数学学案VIP专享

2.3.1 等比数列(一)[学习目标] 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式了解其推导过程．[知识链接]下列判断正确的是________．(1)从第 2 项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列；(2)从第 2 项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列；(3)等差数列的公差 d 可正可负，且可以为零；(4)在等差数列中，an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．答案 (1)(3)(4)[预习导引]1．等比数列的概念如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 q ( q ≠0) ，那么这个数列叫做等比数列．2．等比中项如果三个数 a、G、b 组成等比数列，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项．根据定义得 G2＝ab，G＝±，只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数这一点与等差数列不同．3．等比数列的通项公式等比数列{an}的通项公式为 an＝ a 1q n － 1 ，其中 a1与 q 均不为 0.要点一 等比数列通项公式的基本量的求解例 1 在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求 an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n；(3)a3＝2，a2＋a4＝，求 an.解 (1) ∴由得 q3＝4，从而 q＝，而 a1q3＝2，于是 a1＝＝，∴an＝a1qn－1＝.(2)方法一 由得 q＝，从而 a1＝32，又 an＝1∴32×()n－1＝1，即 26－n＝20，∴n＝6.方法二 a3＋a6＝q(a2＋a5)，∴q＝.由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32.由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.(3)设等比数列{an}的公比为 q，则 q≠0.a2＝＝，a4＝a3q＝2q，∴＋2q＝，解得 q1＝，q2＝3.当 q＝时，a1＝18，∴an＝18×()n－1＝2×33－n.当 q＝3 时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.综上，当 q＝时，an＝2×33－n；当 q＝3 时，an＝2×3n－3.规律方法 a1和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于 a1和 q 的方程(组)，求出 a1和 q.跟踪演练 1 (1)若等比数列{an}的首项 a1＝，末项 an＝，公比 q＝，求项数 n.(2)在等比数列{an}中，已知 a5－a1＝15，a4－a2＝6，求 an.解 (1)由 an＝a1·qn－1，得＝()n－1，即()n－1＝()3，得 n＝4.(2)因为由得 q＝或 q＝2.当 q＝时，a1＝－16；当 q＝2 时，a1＝1.∴an＝－16·()n－1或 an＝2n－1.要点二 等比中项的应用例 2 在等差数列{an}中，公差...