2.5 从力做的功到向量的数量积课堂导学三点剖析1.平面向量的数量积【例 1】 已知|a|=4,|b|=3,当① a∥b,②a⊥b,③a 与 b 的夹角为 60°时，分别求 a 与 b 的数量积.思路分析：利用向量的数量积定义求解，注意几种情况下，a 与 b 的夹角大小.解：①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则 a 与 b 的夹角 θ=0°,∴a·b=|a|·|b|cosθ=4×3×cos0°=12;若 a 与 b 反向，则 a 与 b 的夹角为 θ=180°,∴a·b=|a|·|b|cos180°=4×3×(-1)=-12;② 当 a⊥b 时，向量 a 与 b 的夹角为 90°，∴a·b=|a|·|b|·cos90°=4×3×0=0;③ 当 a 与 b 的夹角为 60°时，∴a·b=|a|·|b|·cos60°=4×3×=6.友情提示 若|a|·|b|是一个定值 k，则当这两个向量的夹角从 0°变化到 180°时，两向量的数量积从 k 减到-k，其图象是从 0 到 π 的半个周期内的余弦函数图象.各个击破类题演练 1Rt△ABC 中，已知||=3，||=3，||=，求·+·+·的值.解析: ∠A=∠C=45°，∴〈，〉=135°，〈，〉=135°，∴·+·+·=·+·=3×cos135°+×3cos135°=-18.变式提升 1若向量 a、b、c 满足 a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4.则 a·b+b·c+c·a=____________.解法一：由已知得|c|=|a|+|b|,c=-a-b, 故向量 a 与 b 同向，而向量 c 与它们反向. 所以有 a·b+b·c+c·a=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.∴应填：-13.解法二： (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a),∴a·b+b·c+c·a==-13.∴应填：-13.答案：-132.平面向量数量积的综合应用【例 2】 设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 60°，求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角.思路分析：根据公式 a·b=|a||b|cosθ，得 cosθ=，由此可求两向量的夹角.解：|m|=1,|n|=1,由夹角是 60°，得 m·n=.则有|a|=|2m+n|=;|b|=|2n-3m|=.所以 a·b=(2m+n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2=,cosθ=.所以 a、b 的夹角为 120°.友情提示 应用向量的数量积求夹角时，要注意分析要求的角是否是所构造的向量的夹角.类题演练 2若(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),试求 a、b 的夹角的余弦值.解析：由(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),有∴a2=b2,|a|2=|b|2,|a|=|b|.由 2a2+a·b-b2=0,得a·b=b2-2a2=|b|2-2|a|2=|b|2-2×|b|2=-|b|2.∴cosθ=.∴a、b 的夹角的余弦值为.变式提升 2已知|a|=5,|b|=12,当且仅当 m 为何值时，向量 a+mb 与 a-mb 互相垂直？解析:若向量...
