§5 从力做的功到向量的数量积知识点一 向量的夹角 [填一填]1．(1)定义：已知两个非零向量 a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量 a 和向量 b 的夹角．(2)范围：[0° ， 180°] ．(3)规定：零向量与任意向量垂直 .[答一答]1．若两个向量的始点不相同，如何作出两向量的夹角？提示：通过平移使其共始点，再作出两向量的夹角．知识点二 向量的数量积及性质 [填一填]2．向量的数量积(或内积)(1)定义：|a|·|b|cosθ 叫作向量 a 和 b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝|a|·|b|cosθ.(2)几何意义：a 与 b 的数量积等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影|b|cosθ 的乘积，或b 的长度|b|与 a 在 b 方向上的射影|a|cosθ 的乘积．(3)物理意义：力对物体做功，就是力 F 与其作用下物体的位移 s 的数量积 F·s.3．向量数量积的性质(1)a·a＝|a|2；(2)若 e1，e2是单位向量，则 e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cos θ ；(3)若 e 是单位向量，则 e·a＝|e||a|cosθ＝|a|cosθ；(4)a⊥b⇔a·b＝0；(5)|a|＝；(6)cosθ＝(|a||b|≠0)；(7)对任意两个向量 a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当 a∥b 时等号成立．[答一答]2．根据 a·a＝|a|2，可求解向量的模，你能证明该式是正确的吗？提示：a·a＝|a||a|cos 0°＝|a|2cos 0°＝|a|2.知识点三 向量数量积的运算律 [填一填]4．向量数量积的运算满足以下运算律给定向量 a，b，c 和实数 λ，有(1)交换律：a·b＝b·a.(2)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.(3)数乘以向量的数量积，可以与一个向量交换结合，即对任意实数 λ，有(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．[答一答]3．对于向量 a，b，c，等于(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？提示：不一定成立．因为若(a·b)·c≠0，其方向与 c 相同或相反，而 a·(b·c)≠0 时，其方向与 a 相同或相反，而 a 与 c 方向不一定相同，故该等式不一定成立．1．对数量积概念的理解(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos θ 的符号所决定．(2)两向量 a，b 的数量积也称作内积，写成 a·b，其应与代数中的 a，b 的乘积 ab 区分开来，其中“·”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号．在向量运算中既不能省略，也不能用“×”代替．2．对数量积性质的理解(1)性质(1)(2)(3)可以帮助理解数量积的定义．(2)性质(4)可以解决有关垂直的问题．(3)性质(5)可以求向量的长度．(4)性...
