高中数学 第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数量积知识导航学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

§5 从力做的功到向量的数量积知识梳理1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量 a，b，如图 2-5-1 所示，作=a，=b，则∠AOB 称为a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉.图 2-5-1(2)范围：［0,π］，〈a，b〉=〈b，a〉.(3)当〈a，b〉=时，称向量 a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b.规定零向量与任一向量垂直.(4)当〈a，b〉=0 时，a 与 b 同向；当〈a，b〉=π 时，a 与 b 反向.2.向量的射影图 2-5-2已知向量 a 和 b，如图 2-5-2 所示，作=a，=b,过点 B 作的垂线，垂足为 B1，则1的数量|b|cosθ 叫做向量 b 在向量 a 方向上的正射影（简称射影）.3.向量的数量积（内积）（1）定义：|a||b|cosθ 叫做向量 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a·b,即 a·b=|a||b|cosθ.（2）理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、为零、为负数.（3）几何意义：向量 a 与向量 b 的数量积等于 a 的长度｜a｜与 b 在 a 方向上的射影|b|cosθ 的乘积，或看作是 b 的长度｜b｜与 a 在 b 方向上的射影|a|cosθ 的乘积.4.向量数量积的性质设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量.（1）e·a=a·e=|a|cos〈a，e〉.（2）a·ba·b=0.（3）当 a 与 b 同向时，a·b=|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b=-|a||b|；特别地：a·a=|a|2或|a|=.（4）cos〈a，b〉=.（5）|a·b|≤|a||b|.5.向量数量积的运算律交换律：a·b=b·a；结合律：（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）(λ∈R)；分配律：（a＋b）·c=a·c＋b·c.知识导学1.学好本节，需复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算.2.本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题.疑难突破1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系？剖析：难点是对这三种运算分不清.其突破的途径主要是从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比.① 从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定 ；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定；两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.② 从运算的表示方法上看：两个向量 a、b 的数量积称为内积，写成 a·b；大学里还要学到...