第 1 课时 抛物线的几何性质学习目标 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一 抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围x≥0，y∈Rx ≤0 ，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y ≤0 对称轴x 轴y 轴顶点(0,0)离心率e＝1知识点二 焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2＝2px(p>0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p>0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p>0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p>0)|AB|＝p－(y1＋y2)1．椭圆、双曲线和抛物线都是中心对称图形．( × )2．抛物线和双曲线一样，开口大小都与离心率有关．( × )3．抛物线只有一条对称轴和一个顶点．( √ )4．抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关．( √ )题型一 由抛物线的几何性质求标准方程例 1 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程．解 由题意，设抛物线方程为 y2＝2mx(m≠0)，焦点 F.直线 l：x＝，所以 A，B 两点坐标为，，所以|AB|＝2|m|.因为△OAB 的面积为 4，所以··2|m|＝4，所以 m＝±2.所以抛物线的标准方程为 y2＝±4x.引申探究 等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB 的面积是( )A．8p2B．4p2C．2p2D．p2答案 B解析 因为抛物线的对称轴为 x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线 AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线 OA 与 x 轴的夹角为 45°.由方程组得或所以点 A 的坐标为(2p,2p)，同理可得 B(2p，－2p)，所以|AB|＝4p，所以 S△AOB＝×4p×2p＝4p2.反思感悟 把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是 x 还是 y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为 2p；离心率恒等于 1.跟踪训练 1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆＋＝1 短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为 5，求抛物线的方程．解 椭圆＋＝1 的短轴所在直线为 x 轴，∴抛物线的对称轴为 x 轴．设抛物线的方程为 y2＝ax(a...
