高中数学 第二章 数列 2.3.3 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用学案 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学学案

第 2 课时 等比数列前 n 项和的性质及应用学习目标 1.理解等比数列前 n 项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题.3.会用错位相减法求和．知识点一 等比数列前 n 项和公式的函数特征思考 若数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？若数列{an}的前 n项和 Sn＝2n＋1－1 呢？答案 当 Sn＝2n－1 时，an＝＝n∈N*是等比数列；当 Sn＝2n＋1－1 时，an＝＝n∈N*不是等比数列．梳理 当公比 q≠1 时，设 A＝，等比数列的前 n 项和公式是 Sn＝A(qn－1)．即 Sn是 n 的指数型函数．当公比 q＝1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1，Sn是 n 的正比例函数．知识点二 等比数列前 n 项和的性质思考 若公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列吗？答案 由题意可知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n都不为 0，设{an}的公比为 q，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝a1qn＋a2qn＋…＋anqn＝qnSn，S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n＝an＋1qn＋an＋2qn＋…＋a2nqn＝qn(S2n－Sn)，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为 qn.梳理 等比数列{an}前 n 项和的三个常用性质：(1)数列{an}为公比不为－1 的等比数列，Sn为其前 n 项和，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．(2)若{an}是公比为 q 的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．(3)若{an}是公比为 q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前 2n 项中，＝q；② 在其前 2n＋1 项中，S 奇－S 偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．1．对于公比 q≠1 的等比数列{an}的前 n 项和公式，其 qn的系数与常数项互为相反数．(√)2．当{an}为等差数列，{bn}为公比不是 1 的等比数列时，求数列的前 n 项和，适用错位相减法．(√)类型一 等比数列前 n 项和公式的函数特征应用例 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an－1(a 是不为零且不等于 1 的常数)，求证：数列{an}为等比数列．考点 等比数列前 n 项和题点 等比数列前 n 项和综合问题解 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式，∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*.∴＝a，∴数列{an}是等比数列．反思与感悟 (1)已知 Sn，通过 an＝求通项 an，应特别注意 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1...