第 2 课时 等比数列的性质学习目标：1.掌握等比数列的性质及其应用(重点).2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点).3.能用递推公式求通项公式(难点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．推广的等比数列的通项公式{an}是等比数列，首项为 a1，公比为 q，则 an＝a1q n － 1 ，an＝am· q n － m (m，n∈N*)．2．“子数列”性质对于无穷等比数列{an}，若将其前 k 项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为 ak＋1，公比为q；若取出所有的 k 的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为 ak，公比为 q k .思考：如何推导 an＝amqn－m?[提示] 由＝＝qn－m，∴an＝am·qn－m.3．等比数列项的运算性质在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ap· a q.① 特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a.② 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积，即 a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….4．两等比数列合成数列的性质若数列{an}，{bn}均为等比数列，c 为不等于 0 的常数，则数列{can}，{a}{an·bn}，也为等比数列 . 思考：等比数列{an}的前 4 项为 1,2,4,8，下列判断正确的是(1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列；(3)是等比数列；(4){a2n}是等比数列．[提示]由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．[基础自测]1．思考辨析(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( )(2)当 q>1 时，{an}为递增数列．( )(3)当 q＝1 时，{an}为常数列．( )[答案] (1) √ (2)× (3)√ 提示：(2)当 a1>0 且 q>1 时{an}为递增数列，故(2)错．2．等比数列{an}中，a1＝3，q＝2，则 a4＝________，an＝________.24 3×2n－1 [a4＝a1q3＝3×23＝24，an＝a1qn－1＝3×2n－1.]3．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则 a9＝________.【导学号：91432203】9 [因为 a7＝a5q2，所以 q2＝.所以 a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×＝9.]4．在等比数列{an}中，已知 a7a12＝5，则 a8a9a10a11的值为________．25 [因为 a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以 a8a9a10a11＝25.][合 作 探 究·攻 重 难]灵活设项求解等比数列 已知 4 个数成等比数列，其乘积为 1，第 2 项与第 3 项之和为－，则此 4 个数为________．8，－2，，－或－，，－2,8 [设此 4 个数为 a，aq，aq2，aq3.则 a4q6＝1，aq(1＋q)＝－，①所以 a2q3＝±...
