第二课时 等比数列的性质等比数列性质的应用[例 1] (1)在等比数列{an}中，若 a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________. (2)已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求 a11的值．[解] (1)因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质知 a7a10＝a8a9，所以＋＋＋＝＝÷＝－.(2) {an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64.又 a3＋a7＝20，∴a3，a7是方程 t2－20t＋64＝0 的两个根． t1＝4，t2＝16，∴a3＝4，a7＝16 或 a3＝16，a7＝4.① 当 a3＝4，a7＝16 时，＝q4＝4，此时 a11＝a3q8＝4×42＝64.② 当 a3＝16，a7＝4 时，＝q4＝，此时 a11＝a3q8＝16×2＝1.[答案] (1) －[类题通法]等比数列常用性质(1)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ap·aq.特例：若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则 am·an＝a.(2)＝qn－m(m，n∈N*)．(3)在等比数列{an}中，每隔 k 项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列{an}为等比数列，则数列{λan}(λ 为不等于 0 的常数)和仍然成等比数列．[活学活用]1．在等比数列{an}中，若 a2＝2，a6＝12，则 a10＝________.解析：法一：设{an}的公比为 q，则解得 q4＝6，∴a10＝a1q9＝a1q·(q4)2＝2×36＝72.法二： {an}是等比数列，∴a＝a2·a10，于是 a10＝＝＝＝72.答案：722．在等比数列{an}中，若 a7＝－2，则此数列的前 13 项之积等于________．解析：由于{an}是等比数列，∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a，∴a1a2a3…a13＝6·a7＝a，而 a7＝－2，∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.答案：－213灵活设元求解等比数列[例 2] 已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为 91，求这三个数．[解] 法一：设三个数依次为 a，aq，aq2，由题意知∴即解得＝，得 9q4－82q2＋9＝0，即得 q2＝9 或 q2＝，∴q＝±3 或 q＝±.若 q＝3，则 a1＝1；若 q＝－3，则 a1＝－1；若 q＝，则 a1＝9；若 q＝－，则 a1＝－9.故这三个数为 1,3,9，或－1,3，－9，或 9,3,1，或－9,3，－1.法二：设这三个数分别为，a，aq.⇒得 9q4－82q2＋9＝0，即得 q2＝或 q2＝9，∴q＝±或 q＝±3.故这三个数为 1,3,9，或－1,3，－9，或 9,3,1，或－9,3，－1.[类题通法]三个数或四个数成等比数列的设元技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为 a，aq，aq2或，a，aq.(2)若四个数成等比数列，可设为 a，aq，aq2，aq3；若四个数...
