2.5 向量的应用课堂导学三点剖析1.数学问题的向量方法【例 1】如右图平行四边形 ABCD 中，已知 AD=1，AB=2，对角线 BD=2.求对角线 AC 的长.思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.解：设=a，=b，则=a-b，=a+b.而||=|a-b|=∴||2=5-2a·b=4（*）又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b.由（*）得 2a·b=1，∴||2=6,∴||=,即=.温馨提示 在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.2．物理问题中的向量方法【例 2】 如图甲所示，在细绳 O 处用水平力 F2缓慢拉起所受重力为 G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为 θ，绳子所受到的拉力为 F1，求：甲(1)|F1|、|F2|随角 θ 的变化而变化的情况；（2）当|F1|≤2|G|时，θ 角的取值范围.思路分析：本题主要是利用向量加法的平行四边形法则解决物理问题.乙解：（1）如图乙所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G=F1+F2.解直角三角形得|F1|=当 θ 从 0°趋向于 90°时，|F1|、|F2|皆逐渐增大.（2）令|F1|=≤2|G|，得 cosθ≥,又 0°≤θ<90°,∴0°≤θ≤60°.温馨提示 在解决力的合成、力的分解问题时，一般是利用向量的平行四边形法则解决.3.向量方法的综合应用【例 3】已知两恒力 F1（3，4）、F2（6，-5）作用于同一质点，使之由点 A（20，15）移动到点 B（7，0）.试求：（1）F1，F2分别对质点所做的功；（2）F1，F2的合力 F 对质点所做的功.思路分析：本题利用向量数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入 F·s 公式即可.解：=（7，0）-（20，15）=（-13，-15）.（1）W1=F1·=（3，4）·（-13，-15）=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦),W2=F2·=（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).（2）W=F·=（F1+F2）·=［(3,4)+(6,-5)］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).温馨提示 力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即 W=F·s，若用坐标运算，应当注意首先求出位移 s 这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.【例 4】△ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN=2NC，AM 与 BN 相交于点 P.求：AP∶PM 的值.思路分析：待定系数法求定比的问题.解：设=e1,=e2.则=+=-3e2-e1,=2e1+e2. A、P、M 和 B、P、N...
