2.4 等比数列（二）[学习目标] 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断是否成等比数列的方法．知识点一 推广的等比数列的通项公式{an}是等比数列，首项为 a1，公比为 q，则 an＝a1q n － 1 ，an＝am· q n － m (m，n∈N*)．思考 1 如何推导 an＝amqn－m?答案 根据等比数列的通项公式，an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，∴＝qn－m，∴an＝am·qn－m.思考 2 若已知等比数列{an}中，q＝3，a3＝3，则 a7＝____．答案 243解析 a7＝a3·q4＝3·34＝35＝243.知识点二 等比数列的性质1．如果 m＋n＝k＋l，则有 am· a n＝ a k· a l．2．如果 m＋n＝2k，则有 am·an＝a．3．若 m，n，p 成等差数列，则 am，an，ap成等比数列．4．在等比数列{an}中，每隔 k 项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．5．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为 q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.6．等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即 a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….思考 在等比数列{an}中，＝________，a5·a11＝________．答案 a7 a解析 由等比数列的性质得 a5·a11＝a.a3·a9＝a5·a7，∴＝a7.题型一 等比数列的性质及应用例 1 (1)在等比数列{an}中，若 a3a6＝9，a2a4a5＝27，则 a2的值为( )A．2 B．3C．4 D．9(2)已知公比为 q 的等比数列{an}中，a5＋a9＝q，则 a6(a2＋2a6＋a10)的值为________．答案 (1)B (2)解析 (1)因为{an}为等比数列，所以 a3a6＝a4a5＝9，又因为 a2a4a5＝27，所以 a2＝3.(2) a5＋a9＝q，∴a4＋a8＝，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝＝.反思与感悟 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立 a1，q 的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．跟踪训练 1 (1)在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于( )A. B.C.或 D．－或－(2)已知数列{an}是等比数列，且 an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么 a3＋a5＝______．答案 (1)C (2)5解析 (1)a7·a11＝a4·a14＝6，又 a4＋a14＝5，∴或，∴q10＝＝或，＝q10＝或.(2)由 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，即 a＋2a3a5...
