第 2 课时 等比数列的性质及应用教学建议在教学过程中,重视等比数列性质的推导,让学生认识数列通项公式的重要性,即首项与公比(通项公式)是解决等比数列问题最基本的量.通过练习巩固等比数列的性质及应用.教学参考等和数列与等积数列我们已学过等差数列和等比数列.类似地,我们定义:1.等和数列如果一个数列{an}从第 2 项起,每一项与它的前一项的和为同一个常数,则这个数列{an}叫做等和数列,这个常数叫做等和数列的公和.它的递推公式为c 为公和,其中 a≠0,它的通项公式为 an=·(2a-c)+(n∈N*).证明:(方法一)∵an+1+an=c,①则 an+an-1=c,②①-②,得(an+1-an)+(an-an-1)=0,∴an+1-an=-(an-an-1).∴数列{an+1-an}是以-1 为公比,a2-a1=c-a-a=c-2a 为首项的等比数列.于是,an+1-an=(c-2a)·(-1)n-1.由解得 an+1=,∴an=·(-1)n-2+·(2a-c)+(n∈N*).(方法二)(利用待定系数法):已知 an+1+an=c,设 an+1+λ=-m(an+λ),∴an+1+man=-(m+1)λ.取 m=1,则 c=-2λ,即 λ=-,即 an+1-=-.∴数列是以-1 为公比,a1-=a-为首项的等比数列.于是 an-·(-1)n-1,即 an=·(2a-c)+ (n∈N*).规律总结在方法一中,构造一个两项之差的数列,即 an+1-an=-(an-an-1),得到{an+1-an}为等比数列;在方法二中,构造另一种形式的等比数列,即 an+1-=-,得到为等比数列.把陌生的问题转化为熟悉的问题来解,这是学习数学知识的基本方法.2.等积数列如果一个数列{bn}从第 2 项起,每一项与它的前一项的积为同一个常数,则这个数列{bn}叫做等积数列,这个常数叫做等积数列的公积.它的递推公式为p 为公积,其中 b≠0.对于等积数列,可以将它转化为等和数列.如由 bn+1bn=p,bnbn-1=p,两式相除,得 bn+1=bn-1,于是有 bn+1+bn=bn+bn-1(n≥2),这恰好是等和数列.如果等积数列的各项都是正数,这时由 bn+1bn=p,两边取对数,如 lg bn+1+lg bn=lg p,从而知{lg bn}是等和数列.这样都可以转化为等和数列求解.【例 1】 已知数列{an}满足求数列{an}的通项公式.解:(方法一)由 an+1+an=2,得 an+1-1=-(an-1),∴数列{an-1}是以 2 为首项,-1 为公比的等比数列.∴an-1=2·(-1)n-1,即 an=2·(-1)n-1+1(n∈N*).(方法二)由 an+1+an=2,得 an+1-an=-(an-an-1),∴数列{an+1-an}是以-4 为首项,-1 为公比的等比数列.∴an+1-an=-4·(-1)n-1=4·(-1)n.又 an+1+an=2,由此解得 an=2· (-1)n-1+1(n∈N*).【例 2】已知数列{bn}满足求数列{bn}的通项公式.解:(方法一)由已知,得 bn>0(n∈N*),∴由 bn+1bn=2,得 lg(bn+1bn)=lg 2,即 lg bn+1+lg bn=lg 2.∴数列{lg bn}为等和数列.于是可以转化为等和数列的方法求解.下略.(方法二)由 bn+1bn=2,可得 bnbn-1=2(n≥2),两式相除,得 bn+1=bn-1,于是有 bn+1+bn=bn+bn-1(n≥2),故数列{bn+1+bn}是等和数列.下略.
