高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第一课时 等比数列的前n项和学案（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案

第一课时 等比数列的前 n 项和等比数列的前 n 项和公式[提出问题]已知等比数列{an}，公比为 q，Sn是其前 n 项的和，则 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.问题 1：若 q＝1，则 Sn与 a1有何关系？提示：Sn＝na1.问题 2：若 q≠1，你能用 a1，q 直接表示 Sn吗？如何表示？提示：能． Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①两边同乘以 q，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴当 q≠1 时，Sn＝.[导入新知]等比数列的前 n 项和公式已知量首项 a1与公比 q首项 a1，末项 an与公比 q公式Sn＝Sn＝[化解疑难]1．在运用等比数列的前 n 项和公式时，一定要注意对公比 q 的讨论(q＝1 或 q≠1)．2．当 q≠1 时，若已知 a1及 q，则用公式 Sn＝较好；若已知 an，则用公式 Sn＝较好．等比数列的前 n 项和公式的基本运算[例 1] 在等比数列{an}中：(1)若 a1＝1，a5＝16，且 q＞0，求 S7；(2)若 a3＝，S3＝，求 a1和公比 q.[解] (1) {an}为等比数列且 a1＝1，a5＝16，∴a5＝a1q4.∴16＝q4.∴q＝2(负舍)．∴S7＝＝＝127.(2)① 当 q≠1 时，S3＝＝，又 a3＝a1·q2＝，∴a1(1＋q＋q2)＝，即(1＋q＋q2)＝，解得 q＝－(q＝1 舍去)，∴a1＝6.② 当 q＝1 时，S3＝3a1，∴a1＝.综上得或[类题通法]在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn中，a1与 q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用 a1与 q 表示 an与 Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．[活学活用]在等比数列{an}中：(1)若 q＝2，S4＝1，求 S8；(2)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求 a4和 S5.解：(1)设首项为 a1， q＝2，S4＝1，∴＝1，即 a1＝，∴S8＝＝＝17.(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得即 a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷① 得 q3＝，即 q＝，∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×3＝1，S5＝＝＝.等比数列前 n 项和的性质[例 2] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S4＝2，S8＝6，求 a17＋a18＋a19＋a20的值．[解] 由等比数列前 n 项和的性质，可知 S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．由题意可知上面数列的首项为 S4＝2，公比为＝2，故 S4n－S4n－4＝2n(n≥2)，所以 a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32.[类题通法]等比数列前 n 项和的重要...