2.7 向量应用举例课堂导学三点剖析1.用向量解决简单的几何问题【例 1】 如右图平行四边形 ABCD 中，已知 AD=1，AB=2，对角线 BD=2，求对角线 AC 的长.思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.解：设=a,=b,则=a-b,=a+b.而||=|a-b|=,∴||2=5-2a·b=4.①又||2=|ab|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b.由①得 2a·b=1，∴||2=6，∴||=，即 AC=.友情提示 在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.各个击破类题演练 1已知△ABC 中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N 分别是 AB、AC 的中点,D 是 BC 的中点,MN 与 AD交于 F,求.解析： A(7,8),B(3,5),C(4,3)，∴=(3-7,5-8)=(-4,-3),=(4-7,3-8)=(-3,-5).又 D 是 BC 的中点,∴=(+)=(-3.5,-4).又 M、N 分别是 AB、AC 的中点,∴F为 AD 的中点.∴=-=(1.75,2).变式提升 1如右图，O 为△ABC 的外心，E 为三角形内一点，满足=++,求证：⊥. =-，=-=（++）-=+，∴·=（-）·（+）=||2-||2. O 为外心，∴||=||，即·=0，⊥.2.用向量解决物理问题【例 2】 一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳膊受伤,试用向量知识加以解释.思路分析：针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后通过胳膊受力分析,建立数学模型：|F1|=,θ∈［0,π］来确定何种情景时,小孩的胳膊容易受伤.解：设小孩的体重为 G,两胳膊受力分别为 F1、F2,且 F1=F2,两胳膊的夹角为 θ,胳膊受力分析 如 右 图 ( 不 计 其 他 因 素 产 生 的 力 ), 不 难 建 立 向 量 模 型 ： |F1|=,θ∈［0,π］,当 θ=0 时,|F1|=；当 θ=时,|F1|=|G|；又 θ∈(0,π)时,|F1|单调递增,故当 θ∈(0,)时,F1∈(,|G|),当 θ∈(,π)时,|F1|＞|G|.此时,欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.友情提示 在解决力的合成、力的分解问题，一般是利用向量的平行四边形法则解决.类题演练 2在重 300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°（如下图），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.解析：作OACB（左上图），使∠AOC=30°，∠BOC=60°.在△OAC 中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，||=||cos30°=(N),||=||sin30°=150(N),||=||=150(N).答：与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是 N，与铅垂线成 60°角的绳子的拉力是 150 N.变式提升 2如右图，...
