第 1 课时 数 乘 向 量[核心必知]1．数乘向量(1)定义：一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa.它的长度和方向分别为：① 长度：|λa|＝| λ || a | ；② 方向：当 λ>0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反； 当 λ＝0 时，λa＝0，方向任意．(2)几何意义：λa 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长(|λ|>1)或压缩(|λ|<1)为原来的| λ | 倍．(3)运算律设 a，b 为向量，λ，μ 为实数．① 结合律：λ(μa)＝( λμ ) a ；② 第一分配律：(λ＋μ)a＝λ a ＋ μ a ；③ 第二分配律：λ(a＋b)＝λ a ＋ λ b ．2．向量的线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作向量的线性运算(或线性组合)．3．向量共线定理判定定理a 是一个非零向量，若存在一个实数 λ，使得 b＝λ a ，则向量 b 与非零向量a 共线性质定理若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实数 λ，使得 b ＝ λ a [问题思考]1．数乘向量是数量还是向量？提示：数乘向量仍是一个向量，它既有大小又有方向，且与原向量共线．2．当 λ＝0 时，λa＝0，那么当 λ≠0 时，若 a＝0，也有 λa＝0，对吗？提示：正确．3．向量共线定量为什么规定 a 是非零向量？提示：是为了保证 λ 的存在性与唯一性．若 a＝b＝0 时，实数 λ 仍然存在，但 λ 是任意实数，不唯一；若 a＝0，b≠0 时，则不存在实数 λ，使 b＝λa.讲一讲1．已知 a、b 为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由．(1)2a 与 a 的方向相同，且 2a 的模是 a 的模的两倍；(2)－2a 与 5a 的方向相反，且－2a 的模是 5a 的模的倍；(3)－a 与 a 是一对相反向量；(4)a－b 与－(b－a)是一对相反向量．[尝试解答] (1)正确， 2>0，∴2a 与 a 的方向相同，且|2a|＝2|a|；(2)正确， －2<0，5>0，∴－2a 与 5a 的方向相反，又＝＝，∴|－2a|＝×|5a|；(3)正确，因为|－a|＝|a|＝|a|，且－a 与 a 反向，a 与 a 同向；(4)错误， －(b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b 与－(b－a)是相等向量，而不是相反向量．理解数乘向量要抓住两点：一是大小，二是方向．设 λ，μ∈R，a≠0 若 λμ<0，则 λa与 μa 的方向相反，若 λμ>0，则 λa 与 μa 的方向相同；若 λμ＝0，则 λa，μa 至少有一个...
